A expressão é uma função de x com raiz quadrada \sqrt{x+3}, que exige x\ge -3 para estar bem definida, e x=2 está dentro desse domínio.
Ao substituir diretamente x=2 na expressão obtém-se uma forma indeterminada do tipo 0/0 (veremos isso no próximo passo).
O que o enunciado pede: calcular o limite quando x tende a 2.
Passo 2
Testar substituição direta para ver se há indeterminação. Substituindo x=2:
x^{2}-4 = 2^{2}-4 = 4-4 = 0,
x^{2}+3x-10 = 2^{2}+3\cdot2-10 = 4+6-10 = 0.
Portanto o quociente tem forma 0/0, isto é uma indeterminação. Nesses casos é comum fatorar e simplificar fatores comuns para remover a indeterminação.
Passo 3
Fatorar os polinômios que aparecem. Usar dois fatos úteis:
Diferença de quadrados: a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Fatoração de um trinômio quadrático por inspeção quando possível.
Aplicando:
x^{2}-4 = (x-2)(x+2)
(escolhido pela diferença de quadrados com a=x, b=2).
Para o denominador:
x^{2}+3x-10
procura-se dois números cujo produto seja -10 e soma 3. Esses números são 5 e -2, então
x^{2}+3x-10=(x+5)(x-2).
Assim a expressão original pode ser reescrita como
Cancelar o fator comum (x-2). Isso é válido para o cálculo de limites porque estamos interessados no comportamento quando x se aproxima de 2, não necessariamente no valor da função em x=2. Após cancelar, obtemos a expressão equivalente para x\neq 2:
Agora não há mais indeterminação explícita; os fatores restantes são contínuos em x=2 (a raiz \sqrt{x+3} é contínua para x\ge -3 e em particular em x=2). Portanto podemos avaliar o limite por substituição direta.
Passo 5
Avaliar por substituição x=2 na expressão simplificada. Calcular cada peça: