Calcular os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\left(x^{2}+5 x-1\right)\left(x^{2}-4\right)}{\sqrt{x+3}\left(x^{2}+3 x-10\right)}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\left(x^{2}+5 x-1\right)\left(x^{2}-4\right)}{\sqrt{x+3}\left(x^{2}+3 x-10\right)}.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A expressão é uma função de x com raiz quadrada \sqrt{x+3}, que exige x\ge -3 para estar bem definida, e x=2 está dentro desse domínio.
  • Ao substituir diretamente x=2 na expressão obtém-se uma forma indeterminada do tipo 0/0 (veremos isso no próximo passo).
    O que o enunciado pede: calcular o limite quando x tende a 2.

Passo 2

Testar substituição direta para ver se há indeterminação. Substituindo x=2:
x^{2}-4 = 2^{2}-4 = 4-4 = 0,
x^{2}+3x-10 = 2^{2}+3\cdot2-10 = 4+6-10 = 0.
Portanto o quociente tem forma 0/0, isto é uma indeterminação. Nesses casos é comum fatorar e simplificar fatores comuns para remover a indeterminação.

Passo 3

Fatorar os polinômios que aparecem. Usar dois fatos úteis:
  • Diferença de quadrados: a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
  • Fatoração de um trinômio quadrático por inspeção quando possível.
Aplicando:
x^{2}-4 = (x-2)(x+2)
(escolhido pela diferença de quadrados com a=x, b=2).
Para o denominador:
x^{2}+3x-10
procura-se dois números cujo produto seja -10 e soma 3. Esses números são 5 e -2, então
x^{2}+3x-10=(x+5)(x-2).
Assim a expressão original pode ser reescrita como
\frac{\left(x^{2}+5x-1\right)(x-2)(x+2)}{\sqrt{x+3}\,(x-2)(x+5)}.

Passo 4

Cancelar o fator comum (x-2). Isso é válido para o cálculo de limites porque estamos interessados no comportamento quando x se aproxima de 2, não necessariamente no valor da função em x=2. Após cancelar, obtemos a expressão equivalente para x\neq 2:
\frac{\left(x^{2}+5x-1\right)(x+2)}{\sqrt{x+3}\,(x+5)}.
Agora não há mais indeterminação explícita; os fatores restantes são contínuos em x=2 (a raiz \sqrt{x+3} é contínua para x\ge -3 e em particular em x=2). Portanto podemos avaliar o limite por substituição direta.

Passo 5

Avaliar por substituição x=2 na expressão simplificada. Calcular cada peça:
x^{2}+5x-1 \big|_{x=2} = 2^{2}+5\cdot2-1 = 4+10-1 = 13,
x+2 \big|_{x=2} = 4,
\sqrt{x+3} \big|_{x=2} = \sqrt{5},
x+5 \big|_{x=2} = 7.
Substituindo:
\lim_{x\to 2} \frac{\left(x^{2}+5x-1\right)(x+2)}{\sqrt{x+3}\,(x+5)} = \frac{13\cdot 4}{\sqrt{5}\cdot 7} = \frac{52}{7\sqrt{5}}.
Se preferir racionalizar o denominador, multiplica-se numerador e denominador por \sqrt{5}, obtendo
\frac{52\sqrt{5}}{35}.

Resposta

\dfrac{52\sqrt{5}}{35}

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