Calcular os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é uma diferença de duas funções racionais.
- Em
temos e , ou seja, cada parcela fica indefinida ao substituir . Logo não é possível fazer substituição direta; é preciso manipular a expressão para avaliar o limite.
Passo 2
Uma ferramenta útil aqui é a fatoração de diferença de cubos. A fórmula geral é
Aplicando com
e
obtém-se
Isso é importante porque mostra que a expressão
é um fator de
, o que possibilita cancelações.
Passo 3
Usando a fatoração do passo anterior, escrevemos a primeira fração com o fator
explícito:
Então a diferença fica
Passo 4
Colocamos a expressão entre parênteses sobre um denominador comum:
Calculemos o numerador:
Fatorando
do numerador:
Agora fatoramos o polinômio quadrático:
pois
.
Passo 5
Substituindo as fatorações obtidas, a expressão original fica
Para
(isto é, em qualquer ponto no entorno de
exceto
em si) é permitido cancelar o fator
, obtendo-se a função equivalente
Explicação didática curta: cancelar o fator é válido porque estamos estudando o limite quando
se aproxima de
, não o valor da função exatamente em
. Depois da cancelação temos uma função racional contínua no ponto
, então basta substituir para encontrar o limite.
Passo 6
Agora calculamos o limite por substituição direta na expressão simplificada: