Calcular os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{6}{x^{3}-1}-\frac{2}{x-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 1}\left(\frac{6}{x^{3}-1}-\frac{2}{x-1}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é uma diferença de duas funções racionais.
  • Em x=1 temos x^{3}-1=0 e x-1=0, ou seja, cada parcela fica indefinida ao substituir x=1. Logo não é possível fazer substituição direta; é preciso manipular a expressão para avaliar o limite.

Passo 2

Uma ferramenta útil aqui é a fatoração de diferença de cubos. A fórmula geral é
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Aplicando com a=x e b=1 obtém-se
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).
Isso é importante porque mostra que a expressão x-1 é um fator de x^{3}-1, o que possibilita cancelações.

Passo 3

Usando a fatoração do passo anterior, escrevemos a primeira fração com o fator (x-1) explícito:
\frac{6}{x^{3}-1}=\frac{6}{(x-1)(x^{2}+x+1)}.
Então a diferença fica
\frac{6}{(x-1)(x^{2}+x+1)}-\frac{2}{x-1}=\frac{1}{x-1}\left(\frac{6}{x^{2}+x+1}-2\right).

Passo 4

Colocamos a expressão entre parênteses sobre um denominador comum:
\frac{6}{x^{2}+x+1}-2=\frac{6-2(x^{2}+x+1)}{x^{2}+x+1}.
Calculemos o numerador:
6-2(x^{2}+x+1)=6-2x^{2}-2x-2=4-2x^{2}-2x.
Fatorando -2 do numerador:
4-2x^{2}-2x=-2\bigl(x^{2}+x-2\bigr).
Agora fatoramos o polinômio quadrático:
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1),
pois (x+2)(x-1)=x^{2}+x-2.

Passo 5

Substituindo as fatorações obtidas, a expressão original fica
\frac{1}{x-1}\cdot\frac{-2(x+2)(x-1)}{x^{2}+x+1}.
Para x\neq 1 (isto é, em qualquer ponto no entorno de x=1 exceto x=1 em si) é permitido cancelar o fator (x-1), obtendo-se a função equivalente
\frac{-2(x+2)}{x^{2}+x+1}.
Explicação didática curta: cancelar o fator é válido porque estamos estudando o limite quando x se aproxima de 1, não o valor da função exatamente em x=1. Depois da cancelação temos uma função racional contínua no ponto x=1, então basta substituir para encontrar o limite.

Passo 6

Agora calculamos o limite por substituição direta na expressão simplificada:
\lim_{x\to 1}\frac{-2(x+2)}{x^{2}+x+1}=\frac{-2(1+2)}{1^{2}+1+1}=\frac{-2\cdot 3}{3}=-2.

Resposta

-2

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