Calcular os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\sqrt{x^{2}+p^{2}}-p}{\sqrt{x^{2}-q^{2}}-q}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left[\frac{\sqrt{x^{2}+p^{2}}-p}{\sqrt{x^{2}-q^{2}}-q}\right],
onde p e q são constantes (presumivelmente números reais).
As perguntas explícitas que vamos responder: calcular o limite quando x\to 0 e identificar as condições sobre p e q que fazem sentido para o limite (domínio da expressão).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão envolve duas raízes quadradas: \sqrt{x^{2}+p^{2}} e \sqrt{x^{2}-q^{2}}.
  • Tem-se um ponto de interesse em x=0.
  • Para termos a expressão definida com valores reais numa vizinhança de 0, as quantidades dentro das raízes devem ser não negativas para x próximos de 0.

Passo 2

Análise do domínio (condição para a expressão ser real perto de x=0).
  • Para \sqrt{x^{2}+p^{2}} não há problema: x^{2}+p^{2}\ge0 para todo x e todo p\in\mathbb{R}.
  • Para \sqrt{x^{2}-q^{2}} exigir que ela seja real para x suficientemente próximo de 0 implica que x^{2}-q^{2}\ge0 para esses x. Mas, para x arbitrariamente pequeno (próximo de 0), a única forma de garantir x^{2}-q^{2}\ge0 é que q^{2}\le x^{2} para esses x; isso só é possível para todos x próximos de 0 quando q=0.
    Portanto, se pretendemos o limite no conjunto dos números reais, há duas possibilidades:
  • Caso q\neq 0: a expressão não está definida (com valores reais) numa vizinhança de 0, logo não existe limite real.
  • Caso q=0: a expressão é real para x perto de 0 e devemos calcular o limite.

Passo 3

Assumimos primeiro o caso relevante para valores reais: q=0. Substituindo \,q=0 na expressão obtemos
\frac{\sqrt{x^{2}+p^{2}}-p}{\sqrt{x^{2}-0}-0}=\frac{\sqrt{x^{2}+p^{2}}-p}{\sqrt{x^{2}}}=\frac{\sqrt{x^{2}+p^{2}}-p}{|x|}.
Explicando o uso de |x|: \sqrt{x^{2}}=|x|, portanto o denominador é |x|, não simplesmente x.
Para manipular o numerador sem usar séries, racionalizamos (multiplicamos por conjugado) — técnica padrão em provas:
Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x^{2}+p^{2}}+p. Assim,
\frac{\sqrt{x^{2}+p^{2}}-p}{|x|} \cdot \frac{\sqrt{x^{2}+p^{2}}+p}{\sqrt{x^{2}+p^{2}}+p} = \frac{(\sqrt{x^{2}+p^{2}}-p)(\sqrt{x^{2}+p^{2}}+p)}{|x|\big(\sqrt{x^{2}+p^{2}}+p\big)}.
No numerador o produto é diferença de quadrados:
(\sqrt{x^{2}+p^{2}})^2 - p^{2} = (x^{2}+p^{2}) - p^{2} = x^{2}.
Portanto a expressão se simplifica para
\frac{x^{2}}{|x|\,\big(\sqrt{x^{2}+p^{2}}+p\big)} = \frac{|x|}{\sqrt{x^{2}+p^{2}}+p}.
Essa forma é muito conveniente para passar ao limite x\to 0.

Passo 4

Análise do limite a partir da forma \dfrac{|x|}{\sqrt{x^{2}+p^{2}}+p}. Agora fazemos a investigação dependendo de p.
  • Caso p>0:
    Quando x\to 0, \sqrt{x^{2}+p^{2}}\to p. Logo o denominador \sqrt{x^{2}+p^{2}}+p \to p+p = 2p, que é um número positivo. Assim
    \frac{|x|}{\sqrt{x^{2}+p^{2}}+p}\longrightarrow \frac{0}{2p}=0.
    Conclusão: se q=0 e p>0 o limite vale 0.
  • Caso p=0:
    Substituindo p=0 na expressão original com q=0 temos
    \frac{\sqrt{x^{2}+0}-0}{\sqrt{x^{2}}}=\frac{|x|}{|x|}=1
    para todo x\neq 0. Portanto o limite quando x\to 0 é 1.
  • Caso p<0:
    Aqui é preciso cuidado: ao substituir x=0 na forma \dfrac{|x|}{\sqrt{x^{2}+p^{2}}+p} o denominador tende a |p|+p. Para p<0 tem-se |p|=-p, logo |p|+p=0 — ou seja, o termo principal do denominador se anula. Para saber o comportamento precisamos da expansão do denominador para pequenas x. Use a expansão:
    \sqrt{x^{2}+p^{2}}=|p|\sqrt{1+\frac{x^{2}}{p^{2}}} =|p|\left(1+\frac{x^{2}}{2p^{2}}+o(x^{2})\right) =|p|+\frac{|p|}{2p^{2}}x^{2}+o(x^{2}).
    Como p<0 temos |p|=-p, e então
    \sqrt{x^{2}+p^{2}}+p = (|p|+p) + \frac{|p|}{2p^{2}}x^{2}+o(x^{2}) = 0 + \frac{1}{2|p|}x^{2}+o(x^{2}).
    Portanto, para x pequeno,
    \frac{|x|}{\sqrt{x^{2}+p^{2}}+p} \sim \frac{|x|}{\tfrac{1}{2|p|}x^{2}}= \frac{2|p|}{|x|},
    que cresce sem limite quando x\to 0. Como o quociente é positivo para x\neq0, o comportamento é de crescimento para +\infty. Conclusão: se q=0 e p<0 o limite diverge para +\infty.

Passo 5

Resumo das conclusões (casos sobre q e p), e comentário extra sobre uma possível leitura alternativa do enunciado:
  • Para valores reais, a expressão só é definida numa vizinhança de 0 quando q=0. Se q\neq 0 não existe limite real porque a expressão não está definida (raízes com argumento negativo para x próximos de 0).
  • Quando q=0 temos os subcasos já calculados: resultado finito ou divergente dependendo de p.
Observação adicional (possível interpretação alternativa do enunciado): se o enunciado tivesse, por engano, usado \sqrt{x^{2}+q^{2}}-q no denominador (ou seja, sinais + em ambos os radicandos), então a expressão seria
\frac{\sqrt{x^{2}+p^{2}}-p}{\sqrt{x^{2}+q^{2}}-q},
e, racionalizando ambos os termos ou usando a expansão em série para pequenas x, obtém-se o limite
\frac{q}{p}.
Isso porque, para pequeno x,
\sqrt{x^{2}+p^{2}}-p\sim \dfrac{x^{2}}{2p} e \sqrt{x^{2}+q^{2}}-q\sim \dfrac{x^{2}}{2q}, daí a razão tende a q/p. (Este parêntese é só para o caso de o enunciado original ter sinal + no segundo radicando.)

Resposta

Se q\neq 0 (reais): a expressão não está definida em vizinhança de 0, logo não existe limite real.
Se q=0 e p>0: 0
Se q=0 e p=0: 1
Se q=0 e p<0: +\infty

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