Calcular os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
onde
e
são constantes (presumivelmente números reais).
As perguntas explícitas que vamos responder: calcular o limite quando e identificar as condições sobre
e
que fazem sentido para o limite (domínio da expressão).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
As perguntas explícitas que vamos responder: calcular o limite quando
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão envolve duas raízes quadradas:
e . - Tem-se um ponto de interesse em
. - Para termos a expressão definida com valores reais numa vizinhança de
, as quantidades dentro das raízes devem ser não negativas para próximos de .
Passo 2
Análise do domínio (condição para a expressão ser real perto de
).
- Para
não há problema: para todo e todo . - Para
exigir que ela seja real para suficientemente próximo de implica que para esses . Mas, para arbitrariamente pequeno (próximo de ), a única forma de garantir é que para esses ; isso só é possível para todos próximos de quando .
Portanto, se pretendemos o limite no conjunto dos números reais, há duas possibilidades: - Caso
: a expressão não está definida (com valores reais) numa vizinhança de , logo não existe limite real. - Caso
: a expressão é real para perto de e devemos calcular o limite.
Passo 3
Assumimos primeiro o caso relevante para valores reais:
. Substituindo
na expressão obtemos
Explicando o uso de
:
, portanto o denominador é
, não simplesmente
.
Para manipular o numerador sem usar séries, racionalizamos (multiplicamos por conjugado) — técnica padrão em provas:
Multiplicamos numerador e denominador por . Assim,
Multiplicamos numerador e denominador por
No numerador o produto é diferença de quadrados:
Portanto a expressão se simplifica para
Essa forma é muito conveniente para passar ao limite
.
Passo 4
Análise do limite a partir da forma
. Agora fazemos a investigação dependendo de
.
-
Caso
:
Quando, . Logo o denominador , que é um número positivo. Assim Conclusão: see o limite vale . -
Caso
:
Substituindona expressão original com temos para todo. Portanto o limite quando é . -
Caso
:
Aqui é preciso cuidado: ao substituirna forma o denominador tende a . Para tem-se , logo — ou seja, o termo principal do denominador se anula. Para saber o comportamento precisamos da expansão do denominador para pequenas . Use a expansão: Comotemos , e então Portanto, parapequeno, que cresce sem limite quando. Como o quociente é positivo para , o comportamento é de crescimento para . Conclusão: se e o limite diverge para .
Passo 5
Resumo das conclusões (casos sobre
e
), e comentário extra sobre uma possível leitura alternativa do enunciado:
- Para valores reais, a expressão só é definida numa vizinhança de
quando . Se não existe limite real porque a expressão não está definida (raízes com argumento negativo para próximos de ). - Quando
temos os subcasos já calculados: resultado finito ou divergente dependendo de .
Observação adicional (possível interpretação alternativa do enunciado): se o enunciado tivesse, por engano, usado
no denominador (ou seja, sinais
em ambos os radicandos), então a expressão seria
e, racionalizando ambos os termos ou usando a expansão em série para pequenas
, obtém-se o limite
Isso porque, para pequeno
,
e
, daí a razão tende a
. (Este parêntese é só para o caso de o enunciado original ter sinal
no segundo radicando.)
Resposta
Se
(reais): a expressão não está definida em vizinhança de
, logo não existe limite real.
Se e
:
Se e
:
Se e
:
Se
Se
Se