Determinar:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
cresce sem limite positivo:
Informações dadas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - A variável
tende para (ou seja, valores grandes e positivos de ).
Passo 2
Estratégia (intuição): quando
os termos de maior ordem em
dominam a expressão. Aqui o maior grau no numerador é
e no interior da raiz é
. Uma técnica padrão é fatorar a maior potência comum para simplificar o limite. Vamos dividir numerador e o que está dentro da raiz pela potência adequada.
Passo 3
Fatorando
no numerador e
dentro da raiz:
Como
quando
, tem-se
. Portanto a expressão simplifica para
Passo 4
Agora analisamos os limites das partes que dependem de
. Quando
vale:
-
, -
, -
.
Pelo teorema das operações com limites (limite da soma, produto e quociente quando o denominador tende a número não nulo), obtemos
Passo 5
Aplicando o quociente dos limites (denominador tende a
, então é permitido):