Determinar:
\lim _{s \rightarrow+\infty} \frac{2 s^{2}-3 s-4}{\sqrt{s^{4}+1}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando s cresce sem limite positivo:
\lim_{s\to+\infty}\frac{2s^{2}-3s-4}{\sqrt{s^{4}+1}}.
Informações dadas:
  • O numerador é 2s^{2}-3s-4.
  • O denominador é \sqrt{s^{4}+1}.
  • A variável s tende para +\infty (ou seja, valores grandes e positivos de s).

Passo 2

Estratégia (intuição): quando s\to+\infty os termos de maior ordem em s dominam a expressão. Aqui o maior grau no numerador é s^{2} e no interior da raiz é s^{4}. Uma técnica padrão é fatorar a maior potência comum para simplificar o limite. Vamos dividir numerador e o que está dentro da raiz pela potência adequada.

Passo 3

Fatorando s^{2} no numerador e s^{4} dentro da raiz:
\frac{2s^{2}-3s-4}{\sqrt{s^{4}+1}} = \frac{s^{2}\!\left(2-\dfrac{3}{s}-\dfrac{4}{s^{2}}\right)}{\sqrt{s^{4}\!\left(1+\dfrac{1}{s^{4}}\right)}}.
Como s>0 quando s\to+\infty, tem-se \sqrt{s^{4}}=s^{2}. Portanto a expressão simplifica para
\frac{2-\dfrac{3}{s}-\dfrac{4}{s^{2}}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{s^{4}}}}.

Passo 4

Agora analisamos os limites das partes que dependem de s. Quando s\to+\infty vale:
  • \dfrac{3}{s}\to 0,
  • \dfrac{4}{s^{2}}\to 0,
  • \dfrac{1}{s^{4}}\to 0.
Pelo teorema das operações com limites (limite da soma, produto e quociente quando o denominador tende a número não nulo), obtemos
\lim_{s\to+\infty}\left(2-\dfrac{3}{s}-\dfrac{4}{s^{2}}\right)=2 \qquad\text{e}\qquad \lim_{s\to+\infty}\sqrt{1+\dfrac{1}{s^{4}}}=1.

Passo 5

Aplicando o quociente dos limites (denominador tende a 1\neq 0, então é permitido):
\lim_{s\to+\infty}\frac{2s^{2}-3s-4}{\sqrt{s^{4}+1}} = \frac{2}{1}.

Resposta

2

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