Calcular o tempo necessário para converter 98% do substrato num processo fermentativo descontínuo para produção de proteína de bactéria unicelular, partindo-se de \mathrm{Cs}_{0}=50 \mathrm{~g} . \mathrm{L}^{-1} e \mathrm{Cx}_{0}=1,0 \mathrm{~g} . \mathrm{L}^{-1}. Qual a concentração celular atingida? Dados: Y_{X / S}=0,40 \mathrm{~g}_{\text {cél }} / \mathrm{g}_{\text {substrato }}, \mu \mathrm{m}=0,25 \mathrm{~h}^{-1}, K_{\mathrm{S}}=1,0 \mathrm{~g} . \mathrm{L}^{-1}é.
Modelo monod integrado
t=\frac{1}{\mu_{m}}\left[\ln \left(\frac{C_{x}}{C_{x 0}}\right)+\frac{K_{s}}{C_{s 0}+\frac{C_{x 0}}{Y_{X / S}}} \ln \left(\frac{C_{x} \cdot C_{s 0}}{C_{x 0} \cdot C_{s}}\right)\right]

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular o tempo necessário para converter 98\% do substrato num processo fermentativo descontínuo.
  • Determinar a concentração celular atingida ao final do processo.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Concentração inicial de substrato: \mathrm{Cs}_{0}=50\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{L}^{-1}.
  • Concentração inicial de biomassa: \mathrm{Cx}_{0}=1,0\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{L}^{-1}.
  • Coeficiente de rendimento: Y_{X/S}=0,40\\ \mathrm{g_{cél}}/\mathrm{g_{substrato}}é.
  • Taxa máxima específica de crescimento: \mu_{m}=0,25\\ \mathrm{h}^{-1}.
  • Constante de Monod: K_{S}=1,0\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{L}^{-1}.
  • Modelo Monod integrado (fornecido):
t=\frac{1}{\mu_{m}}\left[\ln\left(\frac{C_{x}}{C_{x0}}\right)+\frac{K_{s}}{C_{s0}+\frac{C_{x0}}{Y_{X/S}}}\ln\left(\frac{C_{x}\cdot C_{s0}}{C_{x0}\cdot C_{s}}\right)\right]
Observação: falta apenas calcular C_{s} final (após 98% conversão) e C_{x} final para então aplicar a fórmula.

Passo 2

Calcular a concentração de substrato remanescente após 98\% de conversão.
  • Substrato consumido: 98\% de \mathrm{Cs}_{0} significa que resta 2\%.
C_{s}=C_{s0}\cdot(1-0,98)=50\cdot 0,02
C_{s}=1,0\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{L}^{-1}.

Passo 3

Usar balanço de massa com o rendimento para achar a concentração celular final C_{x}.
  • Substrato consumido:
\Delta S = C_{s0}-C_{s}=50-1,0=49\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{L}^{-1}.
  • Biomassa produzida (pela definição de rendimento Y_{X/S}):
\Delta X = Y_{X/S}\cdot\Delta S = 0,40\cdot 49 = 19,6\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{L}^{-1}.
  • Concentração celular final:
C_{x}=C_{x0}+\Delta X = 1,0+19,6=20,6\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{L}^{-1}.
Pequena explicação didática: o rendimento Y_{X/S} indica quantos gramas de célula se formam por grama de substrato consumido. Assim, multiplicando o substrato consumido por Y_{X/S} obtém-se a biomassa nova gerada; somando à biomassa inicial obtém-se a biomassa final.

Passo 4

Preparar a aplicação do modelo Monod integrado substituindo todos os termos conhecidos.
Reescrevendo a fórmula (já dada):
t=\frac{1}{\mu_{m}}\left[\ln\left(\frac{C_{x}}{C_{x0}}\right)+\frac{K_{s}}{C_{s0}+\dfrac{C_{x0}}{Y_{X/S}}}\ln\left(\frac{C_{x}\cdot C_{s0}}{C_{x0}\cdot C_{s}}\right)\right]
Explicação dos termos (didática):
  • \mu_{m} é a taxa máxima específica de crescimento (unidade \mathrm{h}^{-1}). É a maior taxa de crescimento que as bactérias podem atingir quando o substrato não limita.
  • K_{s} é a constante de Monod (unidade \mathrm{g}\cdot\mathrm{L}^{-1}), que indica a afinidade pelo substrato (quanto menor K_{s}, maior afinidade).
  • O termo C_{s0}+\dfrac{C_{x0}}{Y_{X/S}} aparece porque a integração do modelo relaciona substrato e biomassa através do rendimento: parte do substrato está “associado” à biomassa inicial via C_{x0}/Y_{X/S}.
  • As funções \ln vêm da integração da equação diferencial de crescimento Monod acoplada ao balanço do substrato.
Agora vamos calcular cada termo numérico.

Passo 5

Calcular os termos numéricos dentro dos \ln e o fator multiplicador:
  • Razão de biomassa final/inicial:
\ln\left(\frac{C_{x}}{C_{x0}}\right)=\ln\left(\frac{20,6}{1,0}\right)=\ln(20,6)\approx 3,0253.
  • Denominador do segundo termo:
C_{s0}+\frac{C_{x0}}{Y_{X/S}}=50+\frac{1,0}{0,40}=50+2,5=52,5\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{L}^{-1}.
  • Logaritmo do argumento do segundo \ln:
\ln\left(\frac{C_{x}\cdot C_{s0}}{C_{x0}\cdot C_{s}}\right)=\ln\left(\frac{20,6\cdot 50}{1,0\cdot 1,0}\right)=\ln(1030)\approx 6,9373.
  • Fator multiplicativo do segundo \ln:
\frac{K_{s}}{C_{s0}+\dfrac{C_{x0}}{Y_{X/S}}}=\frac{1,0}{52,5}\approx 0,01905.
  • Produto desse fator pelo \ln:
0,01905\cdot 6,9373 \approx 0,1321.

Passo 6

Somar os dois termos dentro dos colchetes e dividir por \mu_{m}:
\ln\left(\frac{C_{x}}{C_{x0}}\right)+\frac{K_{s}}{C_{s0}+\dfrac{C_{x0}}{Y_{X/S}}}\ln\left(\frac{C_{x}\cdot C_{s0}}{C_{x0}\cdot C_{s}}\right) \approx 3,0253 + 0,1321 = 3,1574.
t=\frac{1}{\mu_{m}}\cdot 3,1574 = \frac{1}{0,25}\cdot 3,1574 = 4\cdot 3,1574 \approx 12,63\\ \mathrm{h}.
Pequeno encorajamento: chegamos ao número com contas diretas — você consegue reproduzir isso na prova seguindo os mesmos passos: achar C_s final, usar rendimento para C_x, depois substituir na fórmula e calcular os \ln.

Resposta

Tempo necessário: t\approx 12,63\\ \mathrm{h}
Concentração celular atingida: C_{x}=20,6\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{L}^{-1}

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