Calcular o tempo necessário para converter 98% do substrato num processo fermentativo descontínuo para produção de proteína de bactéria unicelular, partindo-se de \mathrm{Cs}_{0}=50 \mathrm{~g} . \mathrm{L}^{-1} e \mathrm{Cx}_{0}=1,0 \mathrm{~g} . \mathrm{L}^{-1}. Qual a concentração celular atingida? Dados: Y_{X / S}=0,40 \mathrm{~g}_{\text {cél }} / \mathrm{g}_{\text {substrato }}, \mu \mathrm{m}=0,25 \mathrm{~h}^{-1}, K_{\mathrm{S}}=1,0 \mathrm{~g} . \mathrm{L}^{-1}.
Observação: falta apenas calcular C_{s} final (após 98% conversão) e C_{x} final para então aplicar a fórmula.
Passo 2
Calcular a concentração de substrato remanescente após 98\% de conversão.
Substrato consumido: 98\% de \mathrm{Cs}_{0} significa que resta 2\%.
C_{s}=C_{s0}\cdot(1-0,98)=50\cdot 0,02
C_{s}=1,0\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{L}^{-1}.
Passo 3
Usar balanço de massa com o rendimento para achar a concentração celular final C_{x}.
Substrato consumido:
\Delta S = C_{s0}-C_{s}=50-1,0=49\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{L}^{-1}.
Biomassa produzida (pela definição de rendimento Y_{X/S}):
\Delta X = Y_{X/S}\cdot\Delta S = 0,40\cdot 49 = 19,6\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{L}^{-1}.
Concentração celular final:
C_{x}=C_{x0}+\Delta X = 1,0+19,6=20,6\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{L}^{-1}.
Pequena explicação didática: o rendimento Y_{X/S} indica quantos gramas de célula se formam por grama de substrato consumido. Assim, multiplicando o substrato consumido por Y_{X/S} obtém-se a biomassa nova gerada; somando à biomassa inicial obtém-se a biomassa final.
Passo 4
Preparar a aplicação do modelo Monod integrado substituindo todos os termos conhecidos.
Reescrevendo a fórmula (já dada):
\mu_{m} é a taxa máxima específica de crescimento (unidade \mathrm{h}^{-1}). É a maior taxa de crescimento que as bactérias podem atingir quando o substrato não limita.
K_{s} é a constante de Monod (unidade \mathrm{g}\cdot\mathrm{L}^{-1}), que indica a afinidade pelo substrato (quanto menor K_{s}, maior afinidade).
O termo C_{s0}+\dfrac{C_{x0}}{Y_{X/S}} aparece porque a integração do modelo relaciona substrato e biomassa através do rendimento: parte do substrato está “associado” à biomassa inicial via C_{x0}/Y_{X/S}.
As funções \ln vêm da integração da equação diferencial de crescimento Monod acoplada ao balanço do substrato.
Agora vamos calcular cada termo numérico.
Passo 5
Calcular os termos numéricos dentro dos \ln e o fator multiplicador:
Pequeno encorajamento: chegamos ao número com contas diretas — você consegue reproduzir isso na prova seguindo os mesmos passos: achar C_s final, usar rendimento para C_x, depois substituir na fórmula e calcular os \ln.
Resposta
Tempo necessário: t\approx 12,63\\ \mathrm{h}
Concentração celular atingida: C_{x}=20,6\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{L}^{-1}