Os seguintes dados foram obtidos num reator de mistura contínuo (CSTR) de V=1 m^{3} para a seguinte fermentação: S \rightarrow P+X, com \mathrm{Cx}_{0}=0 e \mathrm{Cp}_{0}=0
\dot{\mathrm{V}}\left(\mathrm{m}^{3} / \mathrm{h}\right) \mathrm{Cs}_{0}\left(\mathrm{~mol} / \mathrm{m}^{3}\right) \mathrm{Cs}\left(\mathrm{mol} / \mathrm{m}^{3}\right) \mathrm{Cx}\left(\mathrm{g} \cdot \mathrm{m}^{-3}\right)
2 200 22 17,8
4 100 50 5,0
6 100 85 1,5
10 250 200 5,0
a) como varia Y_{X / S} com a concentração?
b) encontre uma equação do tipo Monod para o crescimento celular.
\mu=\frac{\mu_{\max } \cdot C_{s}}{K_{s}+C_{s}} \quad \text { Modelo de monod }

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados do reator CSTR:
    • Volume: V=1\\ \mathrm{m}^{3}.
    • Alimentação com C_{x0}=0 e C_{p0}=0.
  • Tabela fornecida (peguei estes números da tabela do enunciado):
    • Para \dot{V}=2\\ \mathrm{m}^3\!/\mathrm{h}: C_{s0}=200\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{m}^{-3}, C_s=22\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{m}^{-3}, C_x=17{,}8\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{m}^{-3}.
    • Para \dot{V}=4\\ \mathrm{m}^3\!/\mathrm{h}: C_{s0}=100\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{m}^{-3}, C_s=50\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{m}^{-3}, C_x=5{,}0\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{m}^{-3}.
    • Para \dot{V}=6\\ \mathrm{m}^3\!/\mathrm{h}: C_{s0}=100\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{m}^{-3}, C_s=85\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{m}^{-3}, C_x=1{,}5\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{m}^{-3}.
    • Para \dot{V}=10\\ \mathrm{m}^3\!/\mathrm{h}: C_{s0}=250\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{m}^{-3}, C_s=200\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{m}^{-3}, C_x=5{,}0\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{m}^{-3}.
O enunciado pede:
(a) Como varia Y_{X/S} com a concentração?
(b) Encontrar uma equação do tipo Monod \displaystyle \mu=\frac{\mu_{\max}\, C_s}{K_s + C_s}, ou seja, determinar \mu_{\max} e K_s a partir dos dados.

Passo 2

Definição e derivação da expressão de rendimento Y_{X/S} no CSTR (aula rápida, passo a passo).
  • Definição: o rendimento Y_{X/S} é a biomassa produzida por unidade de substrato consumido. Em termos de taxas volumétricas (em regime estacionário) usa-se Y_{X/S}=\frac{\text{taxa volumétrica de formação de }X}{\text{taxa volumétrica de consumo de }S}.éçãé
  • Em CSTR em regime estacionário, escrever os balanços (unidades por volume, sinais claros):
    • Balanço de biomassa (steady state, sem biomassa na alimentação, C_{x0}=0): 0 = D\,C_{x0} - D\,C_x + r_x \quad\Rightarrow\quad -D C_x + r_x = 0,onde D=\dfrac{\dot{V}}{V} é a vazão específica (dilution rate) e r_x é a taxa volumétrica líquida de formação de biomassa (unidade: \mathrm{g}\cdot\mathrm{m}^{-3}\mathrm{h}^{-1}). Então r_x = D\,C_x.
    • Balanço de substrato (assumindo consumo líquido r_s negativo): 0 = D C_{s0} - D C_s + r_s \quad\Rightarrow\quad r_s = -D\,(C_{s0}-C_s).Aqui r_s tem sinal negativo quando há consumo; o consumo positivo em magnitude é -r_s.
  • Assim o rendimento (positiva) é Y_{X/S}=\frac{r_x}{-r_s}=\frac{D C_x}{D (C_{s0}-C_s)}=\frac{C_x}{C_{s0}-C_s}.Observação sobre unidades: C_x está em \mathrm{g}\cdot\mathrm{m}^{-3} e C_s em \mathrm{mol}\cdot\mathrm{m}^{-3}, logo Y_{X/S} tem unidades \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
Resumo: não é preciso conhecer \dot{V} ou V para o rendimento: ele depende só de C_x, C_{s0} e C_s através de
Y_{X/S}=\frac{C_x}{C_{s0}-C_s}.

Passo 3

Cálculo numérico de Y_{X/S} para cada condição (uso direto da fórmula do Passo 2).
  • Caso 1 ( \dot{V}=2\\ \mathrm{m}^3\!/\mathrm{h}): Y_{X/S}=\frac{17{,}8}{200-22}=\frac{17{,}8}{178}=0{,}1\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
  • Caso 2 ( \dot{V}=4\\ \mathrm{m}^3\!/\mathrm{h}): Y_{X/S}=\frac{5{,}0}{100-50}=\frac{5{,}0}{50}=0{,}1\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
  • Caso 3 ( \dot{V}=6\\ \mathrm{m}^3\!/\mathrm{h}): Y_{X/S}=\frac{1{,}5}{100-85}=\frac{1{,}5}{15}=0{,}1\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
  • Caso 4 ( \dot{V}=10\\ \mathrm{m}^3\!/\mathrm{h}): Y_{X/S}=\frac{5{,}0}{250-200}=\frac{5{,}0}{50}=0{,}1\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
Conclusão imediata: Y_{X/S} é constante e igual a 0{,}1\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1} para todos os pontos fornecidos — ou seja, não varia com a concentração nos dados fornecidos.

Passo 4

Ligação entre \mu e D no CSTR (fundamento para ajuste Monod).
  • Para biomassa a taxa volumétrica de crescimento é r_x=\mu\,C_x, onde \mu é a velocidade específica de crescimento ( \mathrm{h}^{-1}).
  • Pelo balanço de biomassa em regime estacionário (visto no Passo 2) temos r_x=D\,C_x.
  • Igualando: \mu\,C_x = D\,C_x \quad\Rightarrow\quad \mu = D,desde que C_x>0. Portanto em cada ponto experimental \mu é numericamente igual ao dilution rate D=\dfrac{\dot{V}}{V}.
  • Como V=1\\ \mathrm{m}^3, temos D=\dot{V} (em \mathrm{h}^{-1}). Assim os valores de \mu são diretamente as vazões específicas: 2,\;4,\;6,\;10\\ \mathrm{h}^{-1}.

Passo 5

Preparar os dados para ajustar Monod por linearização (Lineweaver–Burk).
  • Modelo Monod: \mu=\frac{\mu_{\max}\, C_s}{K_s + C_s}.
  • Linearizando: tomar recíproco \frac{1}{\mu}=\frac{K_s}{\mu_{\max}}\cdot\frac{1}{C_s}+\frac{1}{\mu_{\max}}.Isto é uma reta y = m x + b com x=\dfrac{1}{C_s}, y=\dfrac{1}{\mu}, m=\dfrac{K_s}{\mu_{\max}} e b=\dfrac{1}{\mu_{\max}}.
  • Calcular x e y para cada ponto (usei os valores de \mu=D do Passo 4):
    • Ponto 1: C_s=22, \mu=2\Rightarrow \dfrac{1}{C_s}=0{,}0454545,\\ \dfrac{1}{\mu}=0{,}5.
    • Ponto 2: C_s=50, \mu=4\Rightarrow \dfrac{1}{C_s}=0{,}02,\\ \dfrac{1}{\mu}=0{,}25.
    • Ponto 3: C_s=85, \mu=6\Rightarrow \dfrac{1}{C_s}=0{,}0117647,\\ \dfrac{1}{\mu}=0{,}1666667.
    • Ponto 4: C_s=200, \mu=10\Rightarrow \dfrac{1}{C_s}=0{,}005,\\ \dfrac{1}{\mu}=0{,}1.

Passo 6

Cálculo dos parâmetros por regressão linear (fórmulas explícitas e números).
  • Usando fórmula de mínimos quadrados para reta y= m x + b com os quatro pontos:
    • Calculei \sum x = 0{,}082219251,\qquad \sum y = 1{,}016666667,
\sum xy = 0{,}0301880574,\qquad \sum x^2 = 0{,}0026293837,\qquad N=4.
  • A inclinação m e o intercepto b são m=\frac{N\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{N\sum x^2 - (\sum x)^2}\approx 9{,}895,
b=\frac{\sum y}{N} - m\frac{\sum x}{N}\approx 0{,}05079.
  • Relacionando com Monod: b=\frac{1}{\mu_{\max}}\quad\Rightarrow\quad \mu_{\max}=\frac{1}{b}\approx\frac{1}{0{,}05079}\approx 19{,}7\\ \mathrm{h}^{-1},
m=\frac{K_s}{\mu_{\max}}\quad\Rightarrow\quad K_s = m\cdot\mu_{\max}\approx 9{,}895\times19{,}7\approx 195\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{m}^{-3}.
  • Verificação rápida (checagem): com \mu_{\max}=19{,}7 e K_s=195,
    • Para C_s=200: \mu\approx 19{,}7\cdot200/(195+200)\approx 9{,}97\approx10 (coincide com o dado).
    • Para C_s=22: \mu\approx 19{,}7\cdot22/(195+22)\approx 2{,}0 (coincide). Bom ajuste.

Passo 7

Interpretação final e nota didática curta (ânimo e dica para prova).
  • Resultado intuitivo: o rendimento experimental é constante nos pontos medidos, isso indica que a conversão substrato→biomassa teve uma razão fixa nas condições testadas; portanto Y_{X/S}=0{,}1\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
  • Para ajustar Monod em CSTR é prático usar que \mu=D e linearizar por recíprocos (Lineweaver–Burk). A partir daí obtém-se \mu_{\max} e K_s como fiz acima.
  • Dica para prova: memorize a relação de balanço que levou a \mu=D e a expressão simples de rendimento Y=C_x/(C_{s0}-C_s) — são atalho poderosos em problemas de CSTR.

Resposta

(a) Y_{X/S}=0{,}1\\ \mathrm{g}\cdot\mathrm{mol}^{-1} (constante para todos os pontos fornecidos)
(b) \displaystyle \mu=\frac{\mu_{\max}\,C_s}{K_s + C_s} com \mu_{\max}=19{,}7\\ \mathrm{h}^{-1} e K_s=195\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{m}^{-3}

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