Os seguintes dados foram obtidos num reator de mistura contínuo (CSTR) de
para a seguinte fermentação:
, com
e
2
200
22
17,8
4
100
50
5,0
6
100
85
1,5
10
250
200
5,0
a) como varia
com a concentração?
b) encontre uma equação do tipo Monod para o crescimento celular.
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| 2 | 200 | 22 | 17,8 |
| 4 | 100 | 50 | 5,0 |
| 6 | 100 | 85 | 1,5 |
| 10 | 250 | 200 | 5,0 |
b) encontre uma equação do tipo Monod para o crescimento celular.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dados do reator CSTR:
- Volume:
. - Alimentação com
e .
- Volume:
- Tabela fornecida (peguei estes números da tabela do enunciado):
- Para
: , , . - Para
: , , . - Para
: , , . - Para
: , , .
- Para
O enunciado pede:
(a) Como varia com a concentração?
(b) Encontrar uma equação do tipo Monod , ou seja, determinar
e
a partir dos dados.
(a) Como varia
(b) Encontrar uma equação do tipo Monod
Passo 2
Definição e derivação da expressão de rendimento
no CSTR (aula rápida, passo a passo).
- Definição: o rendimento
é a biomassa produzida por unidade de substrato consumido. Em termos de taxas volumétricas (em regime estacionário) usa-se - Em CSTR em regime estacionário, escrever os balanços (unidades por volume, sinais claros):
- Balanço de biomassa (steady state, sem biomassa na alimentação,
): onde é a vazão específica (dilution rate) e é a taxa volumétrica líquida de formação de biomassa (unidade: ). Então - Balanço de substrato (assumindo consumo líquido
negativo): Aqui tem sinal negativo quando há consumo; o consumo positivo em magnitude é .
- Balanço de biomassa (steady state, sem biomassa na alimentação,
- Assim o rendimento (positiva) é
Observação sobre unidades: está em e em , logo tem unidades .
Resumo: não é preciso conhecer
ou
para o rendimento: ele depende só de
,
e
através de
Passo 3
Cálculo numérico de
para cada condição (uso direto da fórmula do Passo 2).
- Caso 1 (
): - Caso 2 (
): - Caso 3 (
): - Caso 4 (
):
Conclusão imediata:
é constante e igual a
para todos os pontos fornecidos — ou seja, não varia com a concentração nos dados fornecidos.
Passo 4
Ligação entre
e
no CSTR (fundamento para ajuste Monod).
- Para biomassa a taxa volumétrica de crescimento é
, onde é a velocidade específica de crescimento ( ). - Pelo balanço de biomassa em regime estacionário (visto no Passo 2) temos
. - Igualando:
desde que . Portanto em cada ponto experimental é numericamente igual ao dilution rate . - Como
, temos (em ). Assim os valores de são diretamente as vazões específicas: .
Passo 5
Preparar os dados para ajustar Monod por linearização (Lineweaver–Burk).
- Modelo Monod:
- Linearizando: tomar recíproco
Isto é uma reta com , , e . - Calcular
e para cada ponto (usei os valores de do Passo 4): - Ponto 1:
, . - Ponto 2:
, . - Ponto 3:
, . - Ponto 4:
, .
- Ponto 1:
Passo 6
Cálculo dos parâmetros por regressão linear (fórmulas explícitas e números).
- Usando fórmula de mínimos quadrados para reta
com os quatro pontos: - Calculei
- Calculei
- A inclinação
e o intercepto são
- Relacionando com Monod:
- Verificação rápida (checagem): com
e , - Para
: (coincide com o dado). - Para
: (coincide). Bom ajuste.
- Para
Passo 7
Interpretação final e nota didática curta (ânimo e dica para prova).
- Resultado intuitivo: o rendimento experimental é constante nos pontos medidos, isso indica que a conversão substrato→biomassa teve uma razão fixa nas condições testadas; portanto
. - Para ajustar Monod em CSTR é prático usar que
e linearizar por recíprocos (Lineweaver–Burk). A partir daí obtém-se e como fiz acima. - Dica para prova: memorize a relação de balanço que levou a
e a expressão simples de rendimento — são atalho poderosos em problemas de CSTR.
Resposta
(a)
(constante para todos os pontos fornecidos)
(b)
com
e