1. Calcular o trabalho necessário para lançar um satélite de 1000 kg para fora do campo gravitacional. Sabendo que a Lei de Newton da Gravitação Universal afirma que dois corpos com massas m_{1} e m_{2} atraem um ao outro com uma força de F=G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}, m_{1} é a massa da Terra ( m_{1}=5,98 * 10^{24} \mathrm{~kg} ), m_{2} é a massa do satélite ( m_{2}=1000 \mathrm{~kg} ), R é o raio da Terra ( R=6,37 * 10^{6} \mathrm{~m} ) e G a constante gravitacional ( G=6,67 * 10^{-11} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{kg} ).
O trabalho é dado por W=\int_{a}^{b} F(t) d t.
Neste caso, podemos definir o trabalho W por:
W=\int_{R}^{\infty} G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} d r
W=\lim _{t \rightarrow \infty} \int_{R}^{t} G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} d r
W=\lim _{t \rightarrow \infty} G m_{1} m_{2}\left(\frac{-1}{t}+\frac{1}{R}\right)
W=\frac{G m_{1} m_{2}}{R}
Substituindo os dados do problema temos:

Passo 1

O enunciado pede o trabalho necessário para levar um satélite de massa m_{2}=1000\\ \mathrm{kg} da superfície da Terra (raio R=6,37\times10^{6}\\ \mathrm{m}) até o infinito, vencendo a força gravitacional
F(r)=G\,\frac{m_{1}\,m_{2}}{r^{2}},
onde m_{1}=5,98\times10^{24}\\ \mathrm{kg} é a massa da Terra e G=6,67\times10^{-11}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/kg^{2}}. Para achar o trabalho usamos o conceito de energia potencial gravitacional e calculamos
W=\int_{R}^{\infty}F(r)\,dr.

Passo 2

Calculamos a integral
\int_{R}^{t}G\,\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}\,dr =G\,m_{1}m_{2}\,\Bigl(-\frac{1}{r}\Bigr)\Big|_{R}^{t} =G\,m_{1}m_{2}\Bigl(\frac{1}{R}-\frac{1}{t}\Bigr).
Fazendo t\to\infty o termo \tfrac{1}{t} vai a zero, logo
W=\frac{G\,m_{1}m_{2}}{R}.

Passo 3

Substituindo os valores numéricos:
W =\frac{6,67\times10^{-11}\cdot5,98\times10^{24}\cdot1000}{6,37\times10^{6}} \approx6,26\times10^{10}\\ \mathrm{J}.

Resposta

O trabalho necessário é aproximadamente
6,26\times10^{10}\\ \mathrm{J}.

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