1. Uma pessoa deseja fazer uma doação para uma faculdade particular e fará uma retirada de R \ 7000,00 por ano, perpetuamente, de forma a sustentar a operação do seu centro de computação. Supondo que a taxa de juros anual permanecerá fixa emçãçãá10 %$ capitalizados continuamente, quanto deve a pessoa doar a faculdade? Isto é o valor presente da doação?
Montante gerado durante o j-ésimo subintervalo \cong 7000 \Delta t. Valor presente do montante gerado durante j-ésimo subintervalo 7000 \epsilon^{-0.1 t_{j}} \Delta t.
Assim, o valor presente da doação no n-ésimo ano será dado por
\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{j=1}^{n} 7000 \epsilon^{-0.1 t_{j}} \Delta t=\int_{0}^{N} 7000 \epsilon^{-0.1 t_{j}} d t
Para encontrar o valor presente da doação total, tome o limite desta integral quando N tende ao infinito. Isto é,
V(t)=\lim _{N \rightarrow \infty} \int_{0}^{N} 7000 \epsilon^{-0.1 t} d t
V(t)=\lim _{N \rightarrow \infty}\left[-70000 \epsilon^{-0.1 t}\right]_{0}^{N}
V(t)=\lim _{N \rightarrow \infty}\left(-70000 \epsilon^{-0.1 N}-1\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor presente de uma série perpétua de retiradas contínuas de R$ 7000 por ano, com taxa de juros de 10\% ao ano capitalizada continuamente. O conteúdo aqui é o cálculo do valor presente de uma anuidade contínua perpétua usando desconto exponencial \mathrm{e}^{-rt}.

Passo 2

Modelamos o valor presente V como a integral do fluxo de caixa contínuo descontado:
V = \int_{0}^{\infty} 7000 \,\mathrm{e}^{-0{,}1\,t}\,dt

Passo 3

Para resolver, calculamos a primitiva de \mathrm{e}^{-0{,}1\,t}. Temos
\int \mathrm{e}^{-0{,}1\,t}\,dt = -\frac{1}{0{,}1}\,\mathrm{e}^{-0{,}1\,t} = -10\,\mathrm{e}^{-0{,}1\,t}
Logo,
\int 7000\,\mathrm{e}^{-0{,}1\,t}\,dt = 7000 \times \bigl(-10\,\mathrm{e}^{-0{,}1\,t}\bigr) = -70000\,\mathrm{e}^{-0{,}1\,t}

Passo 4

Avaliamo a integral definida de 0 a N:
\int_{0}^{N}7000\,\mathrm{e}^{-0{,}1\,t}\,dt = \Bigl[-70000\,\mathrm{e}^{-0{,}1\,t}\Bigr]_{0}^{N} = -70000\,\mathrm{e}^{-0{,}1\,N} \;-\;\bigl(-70000\,\mathrm{e}^{0}\bigr)

Passo 5

Simplificando, obtemos
\int_{0}^{N}7000\,\mathrm{e}^{-0{,}1\,t}\,dt = 70000\bigl(1 - \mathrm{e}^{-0{,}1\,N}\bigr)

Passo 6

Como N\to\infty faz \mathrm{e}^{-0{,}1\,N}\to0, a integral se torna
V = \lim_{N\to\infty}70000\bigl(1 - \mathrm{e}^{-0{,}1\,N}\bigr) = 70000

Resposta

A pessoa deve doar R$ 70000 para sustentar perpetuamente as retiradas de R$ 7000 ao ano com juros contínuos de 10\%.

Exercícios relacionados