Calcular a transformada z inversa de
G(z)=z(z-0.5)(z-1)^2
usando expansão em frações parciais.

Passo 1

Beleza, o problema pede pra gente achar a transformada z inversa de
G(z)=z(z-0.5)(z-1)^2
Conteúdo principal: transformada z inversa por expansão em frações parciais.
O que vamos precisar:
  1. Decompor G(z) em frações parciais do tipo Az-a e C(z-a)^2.
  2. Saber a fórmula padrão de inversão:
    • Z^-1!gl1z-agr = a^,n-1u[n-1]
    • Z^-1!gl1(z-a)^2gr = n,a^,n-1u[n-1]
  3. Somar as respostas parciais e achar g[n].

Passo 2

Fazendo a decomposição em frações parciais:
z(z-0.5)(z-1)^2 ;=; Az-0.5;+;Bz-1;+;C(z-1)^2
Multiplicando ambos os lados por (z-0.5)(z-1)^2
z ;=; A,(z-1)^2 ;+; B,(z-0.5)(z-1);+;C,(z-0.5)
Agora achamos A,B,C com alguns “bindings”:
  • Para z=0.5: 0.5 = A,(0.5-1)^2 = A,(0.5)^2 Longrightarrow A = 0.50.25 = 2
  • Para z=1: 1 = C,(1-0.5) = 0.5,C Longrightarrow C = 2
  • Para achar B, basta igualar coeficientes de z^2: A + B = 0 ;Longrightarrow; 2 + B = 0 ;Longrightarrow; B = -2
Logo ficamos com
G(z) = 2z - 0.5 ;-;2z - 1 ;+;2(z - 1)^2

Passo 3

Agora aplicamos as fórmulas de transformada inversa termo a termo. Lembrando que sempre aparece um shift u[n-1] para razões do tipo 1/(z-a) e 1/(z-a)^2.
  1. Para 2z-0.5
    Z^-1!ltfrac2z-0.5r = 2,(0.5)^,n-1,u[n-1]
  2. Para -2z-1
    Z^-1!l-tfrac2z-1r = -2,(1)^,n-1,u[n-1] = -2,u[n-1]
  3. Para 2(z-1)^2
    Z^-1!ltfrac2(z-1)^2r = 2,n,(1)^,n-1,u[n-1] = 2,n,u[n-1]
Somando tudo dá, para n>=1,
g[n] = 2,(0.5)^,n-1 ;-;2 ;+;2,n,
e para n=0, g[0]=0 (porque todos os termos vêm com u[n-1]).

Resposta

Para a sequência causal g[n]=Z^-1G(z) obtemos
boxed g[n] = 0, & n = 0, [6pt] 2,(0.5)^,n-1 ;-;2 ;+;2,n, & n >= 1

Exercícios relacionados