Obter a transformada inversa de
utilizando:
(a) o método da expansão em frações parciais.
(b) o método da integral de inversão.
(a) o método da expansão em frações parciais.
(b) o método da integral de inversão.
Passo 1
Beleza, o exercício manda a gente “desfazer” a função
pra achar a sequência no tempo
- (a) expansão em frações parciais (pra reconhecer as formas
- (b) fórmula integral de inversão (resíduos).
A ideia: em (a) a gente faz um truque algébrico pra decompor
em termos que a gente já sabe inverter; em (b) vai ser calcular os resíduos em cada polo e montar
.
Passo 2
- Primeiro, escrevemos
- Multiplica tudo por
: Isso dá Igualando coeficientes de e de : Daí sai - Logo
- E a gente lembra que
Então
Passo 3
- A fórmula é
onde o contorno engloba os polos em e . - Calculamos os resíduos de
nesses polos: - Em
: - Em
:
- Em
- Somando os resíduos:
Resposta
Em ambos os métodos obtemos a mesma sequência causal: