Obter a transformada inversa de
z(z-1)(z-0,5)
utilizando:
(a) o método da expansão em frações parciais.
(b) o método da integral de inversão.

Passo 1

Beleza, o exercício manda a gente “desfazer” a função
X(z)=z(z-1)(z-0,5)
pra achar a sequência no tempo . Isso cai em Transformada Z inversa e a gente vai usar:
- (a) expansão em frações parciais (pra reconhecer as formas )
- (b) fórmula integral de inversão (resíduos).
A ideia: em (a) a gente faz um truque algébrico pra decompor em termos que a gente já sabe inverter; em (b) vai ser calcular os resíduos em cada polo e montar .

Passo 2

  1. Primeiro, escrevemos z(z-1)(z-0,5) ;=; A,zz-1;+;B,zz-0,5
  2. Multiplica tudo por z = A,z,(z-0,5) + B,z,(z-1) : z = (A+B),z^2 ;-;(0,5A + B),z Isso dá A + B = 0, -(0,5A + B) = 1 Igualando coeficientes de A=2, B=-2 e de X(z) = 2,zz-1 ;-;2,zz-0,5 : Z^-1zz-a = a^n,u[n] Daí sai x[n] = 2cdot1^n ;-;2cdot(0,5)^n, n>=0
  3. Logo
  4. E a gente lembra que Então

Passo 3

  1. A fórmula é x[n] = 12pi i oint X(z),z^,n-1,dz, onde o contorno engloba os polos em Resz=1 ltfracz(z-1)(z-0,5),z^n-1r = limzto1(z-1)z^n(z-1)(z-0,5) = 1^n1-0,5 = 2 e Resz=0,5 ltfracz(z-1)(z-0,5),z^n-1r = limzto0,5(z-0,5)z^n(z-1)(z-0,5) = (0,5)^n0,5-1 = -2,(0,5)^n .
  2. Calculamos os resíduos de x[n] = 2 ;-;2,(0,5)^n, n>=0 nesses polos:
    • Em :
    • Em :
  3. Somando os resíduos:

Resposta

Em ambos os métodos obtemos a mesma sequência causal:
boxedx[n] = 2 - 2,(0,5)^n, n>=0,, x[n]=0 para n<0

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