Calcular o valor da constante de equilíbrio e da energia livre, \Delta \mathrm{G} da reação realizada a volume constante e com concentração inicial de \mathrm{A}, \mathrm{C}_{\mathrm{A} 0}=1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}: \mathbf{A} \rightleftarrows 2 \mathbf{R}, quando a conversão de equilíbrio possui, à temperatura de 27^{\circ} \mathrm{C}, os seguintes valores:
\mathrm{X}_{\mathrm{A}, \mathrm{eq}}=61,80

Passo 1

O enunciado dá a reação \mathbf{A} \rightleftarrows 2\mathbf{R} realizada a volume constante, com concentração inicial de \mathbf{A} igual a \,C_{A0}=1\\ \mathrm{mol/L}. À temperatura de 27^\circ\mathrm{C} foi medida a conversão de equilíbrio \,X_{A,\mathrm{eq}}=61{,}80.
Pede-se: (1) calcular a constante de equilíbrio (em termos de concentrações, K_c) e (2) calcular a energia livre associada (vamos calcular a variação de energia livre padrão \Delta G^\circ a partir de K_c).
Observação sobre o dado: interpreto X_{A,\mathrm{eq}}=61{,}80 como 61{,}80\%, ou seja X_{A,\mathrm{eq}}=0{,}6180 como fração adimensional (isso é o uso usual em problemas de conversão).

Passo 2

Entendendo conversão e concentrações em função de X.
  • Definição de conversão: \,X_A é a fração de \mathbf{A} consumida; se começa com C_{A0} mol/L, em equilíbrio sobra \,C_A = C_{A0}(1-X_A).
  • Pela estequiometria \mathbf{A}\to 2\mathbf{R}: cada mol de \mathbf{A} convertido gera 2 mols de \mathbf{R}. Se não há \mathbf{R} inicialmente, a concentração de \mathbf{R} em equilíbrio é \,C_R = C_{A0}\cdot 2 X_A.
    Explicando devagar: suponha que C_{A0} seja 1\\ \mathrm{mol/L}. Se X_A=0{,}5 (50%), então 0{,}5 mol/L de \mathbf{A} reagiram e produziram 2\cdot0{,}5=1{,}0 mol/L de \mathbf{R}. Isso é o raciocínio que vamos usar.

Passo 3

Escrever a constante de equilíbrio em termos das concentrações de equilíbrio.
A expressão de K_c para a reação \mathbf{A} \rightleftarrows 2\mathbf{R} é
K_c=\frac{[R]^2}{[A]}.
Substituindo [A]_{eq}=C_{A0}(1-X) e [R]_{eq}=C_{A0}\cdot 2X (aqui X é X_{A,\mathrm{eq}}), obtemos:
K_c=\frac{(2 C_{A0} X)^2}{C_{A0}(1-X)}.
Desenvolvendo o numerador:
K_c=\frac{4 C_{A0}^2 X^2}{C_{A0}(1-X)}=\frac{4 C_{A0} X^2}{1-X}.
Isto é uma fórmula geral válida para este problema (sistema a volume constante, sem \mathbf{R} inicial).

Passo 4

Calcular numericamente K_c com os dados fornecidos.
  • Usamos C_{A0}=1\\ \mathrm{mol/L} e X=X_{A,\mathrm{eq}}=0{,}6180.
  • Primeiro calcule X^2:
X^2 = (0{,}6180)^2 = 0{,}381924.
  • Numerador 4 C_{A0} X^2 = 4\cdot 1\cdot 0{,}381924 = 1{,}527696.
  • Denominador 1-X = 1-0{,}6180 = 0{,}3820.
  • Dividindo:
K_c=\frac{1{,}527696}{0{,}3820}\approx 3{,}9992\approx 4{,}00.
Portanto a constante de equilíbrio é muito próxima de 4. (Arredondei para duas casas significativas como 4{,}00.)

Passo 5

Relação entre K e energia livre padrão \Delta G^\circ.
Fórmula fundamental da termodinâmica química:
\Delta G^\circ = -RT\ln K_c,
onde:
  • \Delta G^\circ é a variação de energia livre padrão da reação (J/mol),
  • R é a constante universal dos gases \,R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
  • T é a temperatura absoluta em kelvin, \,T=27^\circ\mathrm{C}=273{,}15+27=300{,}15\\ \mathrm{K},
  • \ln é o logaritmo natural e K_c é a constante de equilíbrio calculada.
    Observação didática: em equilíbrio sob as condições dadas a energia livre da reação é zero ( \Delta G=0), mas o que relaciona com K é a variação padrão \Delta G^\circ via a expressão acima.

Passo 6

Calcular \Delta G^\circ numericamente.
  • Temperatura: T=300{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Constante dos gases: R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Usamos K_c\approx 3{,}9992 (praticamente 4), então \ln K_c\approx \ln 4 = 1{,}386294361.
    Agora:
\Delta G^\circ = -R T \ln K_c = -8{,}314\cdot 300{,}15 \cdot 1{,}386294\\ \mathrm{J/mol}.
Calcule passo a passo:
R T = 8{,}314\cdot 300{,}15 \approx 2\,495{,}59\\ \mathrm{J/(mol)}.
Multiplicando por \ln K_c:
R T \ln K_c \approx 2\,495{,}59\cdot 1{,}386294 \approx 3\,462{,}0\\ \mathrm{J/mol}.
Com o sinal:
\Delta G^\circ \approx -3\,462{,}0\\ \mathrm{J/mol} = -3{,}462\\ \mathrm{kJ/mol}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais em kJ/mol):
\Delta G^\circ \approx -3{,}46\\ \mathrm{kJ/mol}.

Passo 7

Interpretação curta (amigável): o valor negativo de \Delta G^\circ indica que, sob condições padrão, a reação tende espontaneamente para a direita (formação de \mathbf{R}); o valor numérico pequeno em módulo mostra que o equilíbrio não é extremamente deslocado para um lado só — consistente com K_c\approx 4.

Resposta

K_c \approx 4{,}00
\Delta G^\circ \approx -3{,}46\\ \mathrm{kJ/mol}

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