Calcular o valor da constante de equilíbrio e da energia livre, \Delta \mathrm{G} da reação realizada a volume constante e com concentração inicial de \mathrm{A}, \mathrm{C}_{\mathrm{A} 0}=1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}: \mathbf{A} \rightleftarrows 2 \mathbf{R}, quando a conversão de equilíbrio possui, à temperatura de 27^{\circ} \mathrm{C}, os seguintes valores:
\mathrm{X}_{\mathrm{A}, \mathrm{eq}}=99,99 \%

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a constante de equilíbrio e a energia livre da reação. Os dados e condições fornecidos são: \mathrm{A} \rightleftarrows 2\mathrm{R}, concentração inicial de \mathrm{A} igual a \mathrm{C}_{\mathrm{A}0}=1\\ \mathrm{mol/L}, não há \mathrm{R} inicialmente (assumimos \mathrm{C}_{\mathrm{R}0}=0) e a conversão de equilíbrio é \mathrm{X}_{\mathrm{A,eq}}=99{,}99\%. A temperatura é \;27^\circ\mathrm{C}. Neste passo estou apenas listando o que foi pedido e os dados — a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos escrever as concentrações no equilíbrio em função da conversão. Definição prática de conversão: \mathrm{X}_{\mathrm{A}}=\dfrac{\text{mols de A consumidos}}{\text{mols de A iniciais}}. Com este esquema estequiométrico, para cada 1 mol de A consumido formam-se 2 mols de R.
As concentrações no equilíbrio ficam:
\mathrm{C}_{\mathrm{A,eq} }=\mathrm{C}_{\mathrm{A}0}(1-\mathrm{X}_{\mathrm{A,eq}})
\mathrm{C}_{\mathrm{R,eq}}=\mathrm{C}_{\mathrm{R}0}+2\mathrm{C}_{\mathrm{A}0}\mathrm{X}_{\mathrm{A,eq}}
Aqui \mathrm{C}_{\mathrm{A}0}=1\\ \mathrm{mol/L} e \mathrm{C}_{\mathrm{R}0}=0. Substituindo \mathrm{X}_{\mathrm{A,eq}}=0{,}9999 (lembre que 99{,}99\%=0{,}9999):
\mathrm{C}_{\mathrm{A,eq}}=1\cdot(1-0{,}9999)=0{,}0001\\ \mathrm{mol/L}
\mathrm{C}_{\mathrm{R,eq}}=0+2\cdot 1\cdot 0{,}9999=1{,}9998\\ \mathrm{mol/L}
Esses valores são as concentrações de equilíbrio que usaremos para calcular a constante.

Passo 3

A expressão da constante de equilíbrio em termos de concentrações para a reação \mathrm{A} \rightleftarrows 2\mathrm{R} é
K_c=\frac{[\mathrm{R}]^2}{[\mathrm{A}]}
(escrevemos [\mathrm{R}] e [\mathrm{A}] como concentrações molares na fase homogênea; assumimos comportamento ideal de soluções para usar concentrações como atividades).
Substituindo os valores do passo anterior:
K_c=\frac{(1{,}9998)^2}{0{,}0001}
Calculemos passo a passo:
(1{,}9998)^2=1{,}9998\times 1{,}9998=3{,}99920004
K_c=\frac{3{,}99920004}{0{,}0001}=39992{,}0004
Arredondando sensivelmente (os dados limitam a precisão), podemos escrever
K_c \approx 3{,}9992\times 10^{4}.

Passo 4

Agora vamos obter a energia livre associada à reação. A relação entre a energia livre padrão de reação e a constante de equilíbrio é
\Delta G^\circ = -RT\ln K_c,
onde R é a constante universal dos gases em unidades de energia por mol por kelvin e T é a temperatura absoluta em kelvin. Explico cada termo:
  • R é a constante dos gases: usaremos R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • T é a temperatura absoluta: T=27^\circ\mathrm{C}=27+273{,}15=300{,}15\\ \mathrm{K}.
  • K_c é a constante de equilíbrio que calculamos no passo anterior.
Calculamos primeiro o logaritmo natural:
\ln K_c=\ln(39992{,}0004)\approx 10{,}59663.
Agora calculamos RT:
RT=8{,}314\cdot 300{,}15\approx 2495{,}59\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
Finalmente:
\Delta G^\circ = -2495{,}59\times 10{,}59663 \approx -26443{,}7\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
É comum expressar em \mathrm{kJ/mol}:
\Delta G^\circ \approx -26{,}44\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.
Observação didática rápida: se a pergunta pedisse a variação de energia livre da mistura ao ir do estado inicial (toda A) ao equilíbrio sob as mesmas condições, a energia livre de reação em condições não padrão seria \Delta G = \Delta G^\circ + RT\ln Q e no equilíbrio \Delta G=0 e Q=K. Aqui usamos a forma padrão para relacionar \Delta G^\circ e K_c, que é a relação normalmente solicitada quando se pede a “energia livre da reação” a partir de K.

Resposta

K_c = 3{,}9992\times 10^{4}
\Delta G^\circ \approx -26{,}44\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}

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