Calcular o valor da constante de equilíbrio e da energia livre, \Delta \mathrm{G} da reação realizada a volume constante e com concentração inicial de \mathrm{A}, \mathrm{C}_{\mathrm{A} 0}=1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}: \mathbf{A} \rightleftarrows 2 \mathbf{R}, quando a conversão de equilíbrio possui, à temperatura de 27^{\circ} \mathrm{C}, os seguintes valores:
\mathrm{X}_{\mathrm{A}, \mathrm{eq}}=10 \%

Passo 1

O enunciado pede dois valores: a constante de equilíbrio e a energia livre associada à reação. As informações fornecidas são:
\text{Reação: } \mathbf{A} \rightleftarrows 2\,\mathbf{R}çã
C_{A0}=1\\ \mathrm{mol/L}
X_{A,eq}=10\%=0,10
T=27^\circ\mathrm{C}
A reação é realizada a volume constante. Não há outras concentrações iniciais dadas, então assumimos C_{R0}=0.

Passo 2

Entendimento do que vai ser calculado:
  • A constante de equilíbrio que usaremos é a constante em termos de concentrações ( K_c ), definida para a reação por
K_c=\dfrac{[R]^2}{[A]}.
  • Para obter K_c precisamos das concentrações de equilíbrio de A e R, obtidas a partir da conversão X_{A,eq} e da condição de volume constante (concentrações proporcionais aos mols).
    A resolução real começa calculando as concentrações de equilíbrio.

Passo 3

Como trabalhar com conversão: para cada 1 mol de A inicial (pois C_{A0}=1\\ \mathrm{mol/L} em 1 L), se a conversão é X_A, então em equilíbrio:
\text{mol de }A = 1\cdot (1-X_A)
\text{mol de }R = 2\cdot 1\cdot X_A
Como o volume é constante e foi dado C_{A0}=1\\ \mathrm{mol/L}, as concentrações de equilíbrio (em mol/L) são numericamente iguais aos mols calculados (assumindo volume de 1 L para simplicidade):

Passo 4

Calcular as concentrações numéricas usando X_{A,eq}=0,10:
[C_A]_{eq} = 1\cdot(1-0,10)=0,90\\ \mathrm{mol/L}
[C_R]_{eq} = 2\cdot 1\cdot 0,10=0,20\\ \mathrm{mol/L}

Passo 5

Agora montamos K_c pela definição:
K_c=\dfrac{[R]^2}{[A]}=\dfrac{(0,20)^2}{0,90}=\dfrac{0,04}{0,90}.
Fazendo a divisão:
K_c=\dfrac{0,04}{0,90}=\dfrac{4}{90}=\dfrac{2}{45}\approx 0,04444.

Passo 6

Sobre a energia livre pedida: em termodinâmica química existe uma relação geral entre a variação de energia livre padrão da reação \Delta G^\circ e a constante de equilíbrio K:
\Delta G^\circ = -RT\ln K.
Observação importante (muito útil para provas): mesmo que o processo seja a volume constante, a relação \Delta G^\circ = -RT\ln K vale para a relação entre a energia livre padrão e a constante de equilíbrio definida por atividades (aqui usamos concentrações ideais). Já a variação de energia livre da reação na condição de equilíbrio é \Delta G=0 (por definição de equilíbrio), mas o que geralmente se pede com a constante é \Delta G^\circ. Vou calcular \Delta G^\circ.

Passo 7

Preparando os valores para cálculo numérico:
T = 27^\circ\mathrm{C} = 300\\ \mathrm{K}
R = 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}
K = K_c \approx 0,04444
Precisamos de \ln K. Para calcular de forma que dê para fazer à mão, escrevo K=\dfrac{4}{90} e uso logaritmos conhecidos:
\ln\!\left(\dfrac{4}{90}\right)=\ln 4 - \ln 90.
Usando valores conhecidos:
\ln 2 \approx 0,693147\Rightarrow \ln 4=2\ln 2\approx 1,386294,
\ln 90=\ln(9\cdot 10)=\ln 9+\ln 10=2\ln 3 + \ln 10\approx 2(1,098612)+2,302585=2,197225+2,302585=4,499810.
Portanto
\ln K \approx 1,386294 - 4,499810 = -3,113516.

Passo 8

Calcular \Delta G^\circ com a fórmula:
\Delta G^\circ = -RT\ln K = -(8,314)\cdot(300)\cdot(-3,113516).
Primeiro calculo RT:
RT = 8,314\cdot 300 = 2494,2\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Multiplicando:
\Delta G^\circ \approx 2494,2\cdot 3,113516 \approx 7765,9\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Em unidades mais usuais:
\Delta G^\circ \approx 7,77\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
Observação final: como a constante K<1, obtivemos \Delta G^\circ>0 (reação desfavorável padrão). Lembre que a variação de energia livre real da reação na condição de equilíbrio é \Delta G=0 (isto é, quando a mistura está na composição de equilíbrio).

Resposta

K_c = 0,04444
\Delta G^\circ = 7,77\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}

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