Calcular o valor de k para que admita solução não-trivial o sistema \left\{\begin{array}{l}2 \boldsymbol{x}+\mathbf{6} \boldsymbol{y}=\mathbf{0} \\\\ 4 \boldsymbol{x}+\boldsymbol{k} \boldsymbol{y}=\mathbf{0}\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado dá o sistema homogêneo
\begin{cases} 2x + 6y = 0,\\\\ 4x + k\,y = 0, \end{cases}
e pede o valor de k para que exista solução não trivial. Isso é um problema de sistema linear homogêneo em duas variáveis, onde para haver solução diferente de x=y=0 precisamos que o determinante da matriz de coeficientes seja zero.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 2 & 6\\\\ 4 & k \end{pmatrix}.
Para um sistema homogêneo A\vec{v}=\vec{0} ter solução não trivial, é necessário e suficiente que \det(A)=0.

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
\det(A) = 2\cdot k - 6\cdot 4 = 2k - 24.

Passo 4

Impondo \det(A)=0 para existir solução não trivial, temos
2k - 24 = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{24}{2} = 12.

Resposta

k = 12.

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