Resolver os sistemas pelo método matricial: \left\{\begin{array}{l}-2 x-y+2 w=a \\\\ 3 x+y-2 z-2 w=b \\\\ -4 x-y+2 z+3 w=c \\\\ 3 x+y-z-2 w=d\end{array}\right..
Para \boldsymbol{a}=5, \boldsymbol{b}=\mathbf{3}, \boldsymbol{c}=\mathbf{1 2} e \boldsymbol{d}=\mathbf{1 0}.

Passo 1

O sistema em questão é
\begin{cases} -2x - y + 2w = 5,\\\\ 3x + y - 2z - 2w = 3,\\\\ -4x - y + 2z + 3w = 12,\\\\ 3x + y - z - 2w = 10. \end{cases}
Queremos resolver por escalonamento (método matricial): montamos a matriz aumentada e aplicamos operações elementares para chegar à forma reduzida.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada [A\mid b]:
\left[\begin{array}{rrrr|r} -2 & -1 & 0 & 2 & 5\\\\ 3 & 1 & -2 & -2 & 3\\\\ -4 & -1 & 2 & 3 & 12\\\\ 3 & 1 & -1 & -2 & 10 \end{array}\right]
Para facilitar, trocamos a linha 1 com a linha 2, obtendo
\left[\begin{array}{rrrr|r} 3 & 1 & -2 & -2 & 3\\\\ -2 & -1 & 0 & 2 & 5\\\\ -4 & -1 & 2 & 3 & 12\\\\ 3 & 1 & -1 & -2 & 10 \end{array}\right].

Passo 3

Eliminamos as entradas abaixo do pivô da coluna 1 (usando a linha 1 como pivô):
R2 ← R 2+ (2/3) R1,
R3 ← R 3+ (4/3) R1,
R4 ← R4 − R1.
Ficamos com
\left[\begin{array}{rrrr|r} 3 & 1 & -2 & -2 & 3\\\\ 0 & -\tfrac13 & -\tfrac43 & \tfrac23 & 7\\\\ 0 & \tfrac13 & -\tfrac23 & \tfrac13 & 16\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 7 \end{array}\right].

Passo 4

Agora escalonamos as colunas 2, 3 e 4:
  1. Troca R2 ↔ R3 para ter pivô positivo na coluna 2;
  2. Multiplica R2 por 3: R 2\to[ 01 21 | 48];
  3. Zera as demais entradas da coluna 2 usando R2;
  4. Usa R4 como pivô para coluna 3 e zera em R2 e R3;
  5. Usa a nova R4 para coluna 4 e zera em R1 e R2.
    Após essas operações chegamos à forma
\left[\begin{array}{cccc|c} 3 & 0 & 0 & 0 & 66\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 25\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 7\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 37 \end{array}\right].

Passo 5

Por fim, dividimos a primeira linha por 3 para normalizar o pivô:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 22\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 25\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 7\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 37 \end{array}\right].
Dessa forma vemos diretamente
x=22,\quad y=25,\quad z=7,\quad w=37.

Resposta

x=22,\;y=25,\;z=7,\;w=37.

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