Calcular os vetores do deslocamento elétrico, do campo elétrico e da polarização elétrica devido a carga elétrica q puntiforme positiva, colocada no dielétrico de tamanho infinito com susceptibilidade elétrica chi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular três vetores: o deslocamento elétrico D, o campo elétrico E e a polarização elétrica P. Tudo isso é por causa de uma carga elétrica pontual q que está colocada num dielétrico infinito, que tem uma suscetibilidade elétrica chi. Basicamente, vamos usar conceitos de eletrostática em materiais dielétricos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é campo elétrico E. Esse é o campo gerado pela carga q no espaço. Num meio vazio, ele é dado pela fórmula clássica:
E = 14pivarepsilon0 qr^2 r
onde varepsilon0 é a permissividade do vácuo, r é a distância da carga ao ponto considerado, e r é o vetor unitário na direção de r.

Passo 3

Agora, como estamos em um dielétrico com susceptibilidade elétrica chi, o campo elétrico é modificado. A relação entre o campo elétrico E e o deslocamento elétrico D é dada por:
D = varepsilon0 E + P
onde P é a polarização elétrica do material.

Passo 4

A polarização elétrica P está relacionada à suscetibilidade elétrica chi e ao campo elétrico E pela fórmula:
P = varepsilon0 chi E
Isso significa que a polarização é proporcional ao campo elétrico aplicado e à suscetibilidade do material.

Passo 5

Com isso, podemos reescrever a relação entre D e E substituindo P:
D = varepsilon0 E + varepsilon0 chi E = varepsilon0 (1 + chi) E = varepsilon E
onde varepsilon = varepsilon0 (1 + chi) é a permissividade do material dielétrico.

Passo 6

Sabemos que no dielétrico, a equação de Gauss para o deslocamento elétrico D continua valendo:
oint D cdot dA = q
Para uma carga pontual em um meio infinito, isso implica que:
D = q4pi r^2 r

Passo 7

Agora, usando a relação D = varepsilon E, podemos encontrar o campo elétrico E:
E = Dvarepsilon = q4pi varepsilon r^2 r = q4pi varepsilon0 (1 + chi) r^2 r

Passo 8

Finalmente, com a expressão do campo elétrico, podemos calcular a polarização elétrica P:
P = varepsilon0 chi E = varepsilon0 chi ( q4pi varepsilon0 (1 + chi) r^2 ) r = chi q4pi (1 + chi) r^2 r

Resposta

Então, os vetores solicitados são:
D = q4pi r^2 r
E = q4pi varepsilon0 (1 + chi) r^2 r
P = chi q4pi (1 + chi) r^2 r

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