Calcular os vetores do deslocamento elétrico, do campo elétrico e da polarização elétrica devido a carga elétrica q puntiforme positiva, colocada no dielétrico de tamanho infinito com susceptibilidade elétrica
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular três vetores: o deslocamento elétrico
, o campo elétrico
e a polarização elétrica
. Tudo isso é por causa de uma carga elétrica pontual
que está colocada num dielétrico infinito, que tem uma suscetibilidade elétrica
. Basicamente, vamos usar conceitos de eletrostática em materiais dielétricos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é campo elétrico
. Esse é o campo gerado pela carga
no espaço. Num meio vazio, ele é dado pela fórmula clássica:
onde
é a permissividade do vácuo,
é a distância da carga ao ponto considerado, e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
Agora, como estamos em um dielétrico com susceptibilidade elétrica
, o campo elétrico é modificado. A relação entre o campo elétrico
e o deslocamento elétrico
é dada por:
onde
é a polarização elétrica do material.
Passo 4
A polarização elétrica
está relacionada à suscetibilidade elétrica
e ao campo elétrico
pela fórmula:
Isso significa que a polarização é proporcional ao campo elétrico aplicado e à suscetibilidade do material.
Passo 5
Com isso, podemos reescrever a relação entre
e
substituindo
:
onde
é a permissividade do material dielétrico.
Passo 6
Sabemos que no dielétrico, a equação de Gauss para o deslocamento elétrico
continua valendo:
Para uma carga pontual em um meio infinito, isso implica que:
Passo 7
Agora, usando a relação
, podemos encontrar o campo elétrico
:
Passo 8
Finalmente, com a expressão do campo elétrico, podemos calcular a polarização elétrica
:
Resposta
Então, os vetores solicitados são: