Calcule, aplicando as regras de derivação as derivadas parciais de 1{ }^{\text {a }} (primeira) ordem da função:
z=x^{2} \cos ^{2}(y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
z = x^{2}\cos^{2}(y).
Perguntas explícitas: encontrar
\frac{\partial z}{\partial x}
e
\frac{\partial z}{\partial y}.
Informações dadas: a função está em termos de \,x e \,y; não há restrições adicionais fornecidas.

Passo 2

O que significa derivada parcial? Vou explicar devagar e de um jeito amigo. Quando calculamos \frac{\partial z}{\partial x} queremos a taxa de variação de z quando só mudamos x e mantemos y fixo. Analogamente, \frac{\partial z}{\partial y} é a taxa de variação de z quando só mudamos y e mantemos x fixo. Na prática isso significa que ao derivar em relação a uma variável tratamos a outra como constante. As regras básicas que vamos usar são:
\text{Regra do produto/potência (para \(x\))}:\quad \frac{d}{dx} x^{n} = n x^{n-1}.ê
\text{Regra da cadeia (para composições como \(\cos^{2}(y)=(\cos y)^{2}\))}:\quad \frac{d}{dy} u(v(y)) = u'(v(y))\cdot v'(y).çõ
Vou aplicar essas ideias passo a passo.

Passo 3

Calcular \frac{\partial z}{\partial x}.
  1. Observe que \cos^{2}(y) depende só de y. Ao derivar em relação a x tratamos \cos^{2}(y) como constante.
  2. Use a regra da potência para x^{2}: \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
  3. Portanto, aplicando a derivação como se fosse um produto de x^{2} por uma constante,
\frac{\partial z}{\partial x} = \bigg(\frac{d}{dx} x^{2}\bigg)\cdot \cos^{2}(y) = 2x\cos^{2}(y).

Passo 4

Calcular \frac{\partial z}{\partial y}.
  1. Agora tratamos x como constante, então x^{2} é constante multiplicativa.
  2. Precisamos derivar \cos^{2}(y). Veja que \cos^{2}(y) é a composição u(v) com u(v)=v^{2} e v(y)=\cos(y).
  3. Aplique a regra da cadeia:
u'(v)=2v,\qquad v'(y)=\frac{d}{dy}\cos(y)=-\sin(y).
Multiplicando,
\frac{d}{dy}\cos^{2}(y)=2\cos(y)\cdot(-\sin(y))=-2\cos(y)\sin(y).
  1. Multiplicando pelo x^{2} (que é constante em relação a y):
\frac{\partial z}{\partial y} = x^{2}\cdot\big(-2\cos(y)\sin(y)\big) = -2x^{2}\cos(y)\sin(y).

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, mas bom para fixar): usando a identidade trigonométrica \sin(2y)=2\sin(y)\cos(y), temos
-2\cos(y)\sin(y) = -\sin(2y).
Assim a expressão para \frac{\partial z}{\partial y} pode ser escrita de forma equivalente como
\frac{\partial z}{\partial y} = -x^{2}\sin(2y).
Isso confirma que as duas formas são iguais — é só uma simplificação trigonométrica.

Passo 6

Dica prática para a prova: quando a função é produto de uma parte que depende só de x e outra só de y, ao derivar em relação a x trate tudo que tem y como constante e vice-versa. Use regra da potência para potências simples e regra da cadeia quando encontrar algo como (\text{algo})^{n} com “algo” dependente da variável. Você já fez o essencial aqui — força que isso é repetitivo e vira automático com prática!

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=2x\cos^{2}(y)
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-2x^{2}\cos(y)\sin(y)= -x^{2}\sin(2y)

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