Calcule, aplicando as regras de derivação as derivadas parciais de
(primeira) ordem da função:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
Perguntas explícitas: encontrar
e
Informações dadas: a função está em termos de
e
; não há restrições adicionais fornecidas.
Passo 2
O que significa derivada parcial? Vou explicar devagar e de um jeito amigo. Quando calculamos
queremos a taxa de variação de
quando só mudamos
e mantemos
fixo. Analogamente,
é a taxa de variação de
quando só mudamos
e mantemos
fixo. Na prática isso significa que ao derivar em relação a uma variável tratamos a outra como constante. As regras básicas que vamos usar são:
Vou aplicar essas ideias passo a passo.
Passo 3
Calcular
.
-
Observe que
depende só de . Ao derivar em relação a tratamos como constante. -
Use a regra da potência para
: . -
Portanto, aplicando a derivação como se fosse um produto de
por uma constante,
Passo 4
Calcular
.
-
Agora tratamos
como constante, então é constante multiplicativa. -
Precisamos derivar
. Veja que é a composição com e . -
Aplique a regra da cadeia:
Multiplicando,
- Multiplicando pelo
(que é constante em relação a ):
Passo 5
Verificação alternativa (opcional, mas bom para fixar): usando a identidade trigonométrica
, temos
Assim a expressão para
pode ser escrita de forma equivalente como
Isso confirma que as duas formas são iguais — é só uma simplificação trigonométrica.
Passo 6
Dica prática para a prova: quando a função é produto de uma parte que depende só de
e outra só de
, ao derivar em relação a
trate tudo que tem
como constante e vice-versa. Use regra da potência para potências simples e regra da cadeia quando encontrar algo como
com “algo” dependente da variável. Você já fez o essencial aqui — força que isso é repetitivo e vira automático com prática!