Usando a definição, determine as derivadas parciais de 1{ }^{\text {a }} (primeira) ordem da função:
f(x, y)=\sqrt{x y} no ponto (2,2)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\sqrt{x y} e pede as derivadas parciais de primeira ordem no ponto (2,2).
Informações dadas que vamos usar:
  • A função é \,f(x,y)=\sqrt{x y}=(x y)^{1/2}.
  • O ponto onde queremos as derivadas é (2,2).
    Perguntas explícitas a responder:
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(2,2) usando a definição.
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(2,2) usando a definição.

Passo 2

Vou lembrar a definição de derivada parcial (com explicação passo a passo):
  • A derivada parcial de f em relação a x no ponto (a,b) é o limite, quando existe,
\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}.
Aqui a ideia é: mudamos só x (fazemos x=a+h) e mantemos y=b fixo; a razão \dfrac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h} mede a taxa de variação de f em direção ao eixo x.
  • Analogamente, a derivada parcial em relação a y no ponto (a,b) é
\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)=\lim_{k\to 0}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k},
onde mudamos só y e mantemos x=a fixo.
Esses limites são do tipo “0/0” em muitos casos, então usamos álgebra (por exemplo racionalização) para simplificar antes de tomar o limite.

Passo 3

Começamos computando \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(2,2) pela definição. Primeiro calculo o valor no ponto:
f(2,2)=\sqrt{2\cdot 2}=\sqrt{4}=2.
Agora escrevo o quociente incremental com h variando x:
\frac{f(2+h,2)-f(2,2)}{h}=\frac{\sqrt{(2+h)\cdot 2}-2}{h}=\frac{\sqrt{4+2h}-2}{h}.

Passo 4

Esse limite é do tipo \dfrac{0}{0} quando h\to 0. Vou racionalizar o numerador (truque clássico): multiplicar numerador e denominador por \sqrt{4+2h}+2:
\frac{\sqrt{4+2h}-2}{h}\cdot\frac{\sqrt{4+2h}+2}{\sqrt{4+2h}+2} =\frac{(\sqrt{4+2h})^2-2^2}{h\big(\sqrt{4+2h}+2\big)}.
O numerador simplifica:
(\sqrt{4+2h})^2-2^2=(4+2h)-4=2h.
Portanto o quociente fica
\frac{2h}{h\big(\sqrt{4+2h}+2\big)}=\frac{2}{\sqrt{4+2h}+2},
para h\neq 0.

Passo 5

Agora faço o limite quando h\to 0:
\frac{\partial f}{\partial x}(2,2)=\lim_{h\to 0}\frac{2}{\sqrt{4+2h}+2}.
Como a função \sqrt{\cdot} é contínua, basta substituir h=0 no denominador:
\frac{\partial f}{\partial x}(2,2)=\frac{2}{\sqrt{4}+2}=\frac{2}{2+2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Ou seja, a derivada parcial em x no ponto (2,2) vale \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Agora calculo \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(2,2) pela definição, mudando só y. Primeiro o quociente incremental com incremento k em y:
\frac{f(2,2+k)-f(2,2)}{k}=\frac{\sqrt{2\cdot(2+k)}-2}{k}=\frac{\sqrt{4+2k}-2}{k}.
Note que é exatamente a mesma expressão que tivemos antes, com k no lugar de h.

Passo 7

Racionalizo do mesmo jeito ou observo simetria: após racionalizar obtemos
\frac{\sqrt{4+2k}-2}{k}=\frac{2}{\sqrt{4+2k}+2}
para k\neq 0. Fazendo k\to 0
\frac{\partial f}{\partial y}(2,2)=\frac{2}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{2}.

Passo 8

Pequeno comentário didático e dica para a prova: o truque de racionalizar o numerador é padrão quando aparecer \sqrt{\cdot} num quociente que tende a um caso 0/0. Além disso, se quiser checar rápido com regras usuais (apenas para confirmar), note que tratando y como constante e diferenciando f(x,y)=(xy)^{1/2} em relação a x obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{2}(xy)^{-1/2}\cdot y=\frac{y}{2\sqrt{xy}},
que em (2,2) \tfrac{2}{2\sqrt{4}}=\tfrac{1}{2}, confirmando o resultado. Mesma coisa para \partial f/\partial y por simetria.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(2,2)=\tfrac{1}{2}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(2,2)=\tfrac{1}{2}

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