Usando a definição, determine as derivadas parciais de
(primeira) ordem da função:
no ponto
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais de primeira ordem no ponto
.
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
- A função é
. - O ponto onde queremos as derivadas é
.
Perguntas explícitas a responder: - Calcular
usando a definição. - Calcular
usando a definição.
Passo 2
Vou lembrar a definição de derivada parcial (com explicação passo a passo):
- A derivada parcial de
em relação a no ponto é o limite, quando existe,
Aqui a ideia é: mudamos só
(fazemos
) e mantemos
fixo; a razão
mede a taxa de variação de
em direção ao eixo
.
- Analogamente, a derivada parcial em relação a
no ponto é
onde mudamos só
e mantemos
fixo.
Esses limites são do tipo “0/0” em muitos casos, então usamos álgebra (por exemplo racionalização) para simplificar antes de tomar o limite.
Esses limites são do tipo “0/0” em muitos casos, então usamos álgebra (por exemplo racionalização) para simplificar antes de tomar o limite.
Passo 3
Começamos computando
pela definição. Primeiro calculo o valor no ponto:
Agora escrevo o quociente incremental com
variando
:
Passo 4
Esse limite é do tipo
quando
. Vou racionalizar o numerador (truque clássico): multiplicar numerador e denominador por
:
O numerador simplifica:
Portanto o quociente fica
para
.
Passo 5
Agora faço o limite quando
:
Como a função
é contínua, basta substituir
no denominador:
Ou seja, a derivada parcial em
no ponto
vale
.
Passo 6
Agora calculo
pela definição, mudando só
. Primeiro o quociente incremental com incremento
em
:
Note que é exatamente a mesma expressão que tivemos antes, com
no lugar de
.
Passo 7
Racionalizo do mesmo jeito ou observo simetria: após racionalizar obtemos
para
. Fazendo
dá
Passo 8
Pequeno comentário didático e dica para a prova: o truque de racionalizar o numerador é padrão quando aparecer
num quociente que tende a um caso
. Além disso, se quiser checar rápido com regras usuais (apenas para confirmar), note que tratando
como constante e diferenciando
em relação a
obtemos
que em
dá
, confirmando o resultado. Mesma coisa para
por simetria.