Calcule, aproximadamente:
(a)
\sqrt[4]{1.0022^{2}+0.0023^{2}+0.00098^{2}}
(b)
0.98 \times 0.99 \times 1.02
(c)
3.001 \times(2.0023)^{3} \times \cos ((1.002) \pi)
(d)
(12.03 \times 10.04)^{1.08}
(e)
8.99 \times \sqrt{9.99-1.01^{3}}
(f)
1.0023 \times 2.9931^{3}+\cos (1.00012 \pi)

Passo 1

O enunciado pede aproximações de seis expressões envolvendo pequenas variações em torno de valores exatos, usando técnicas de expansão em série (aproximação binomial ou de Taylor de pequena ordem). Para isso usaremos:
  • Para raízes ou potências próximas de 1: (1+\delta)^{\alpha}\approx1+\alpha\,\delta quando |\delta|\ll1.
  • Para produtos (1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)\approx1+\epsilon_1+\epsilon_2 e pequenos termos de ordem superior podem ser desprezados ou incluídos se necessário.
  • Para cosseno próximo de múltiplos ímpares de \pi:
\cos\bigl(\pi+\varepsilon\bigr)=-\cos(\varepsilon)\approx -\bigl(1-\tfrac{\varepsilon^2}{2}\bigr).

Passo 2

(a) Temos
A = \sqrt[4]{1.0022^2 + 0.0023^2 + 0.00098^2}.
Calculemos primeiro a soma dentro da raiz:
1.0022^2 = 1 + 2\cdot0.0022 + (0.0022)^2 = 1 + 0.0044 + 4{,}84\times10^{-6},
0.0023^2 = 5{,}29\times10^{-6},\quad 0.00098^2 = 9{,}604\times10^{-7}.
Somando,
1.0022^2 + 0.0023^2 + 0.00098^2 = 1 + 0.0044 + \bigl(4{,}84+5{,}29+0{,}96\bigr)\times10^{-6} \approx 1 + 0.004416.
Logo A = (1+0.004416)^{1/4}. Como \delta=0.004416,
A\approx 1 + \tfrac{1}{4}\,0.004416 = 1 + 0.001104 = 1.001104.

Passo 3

(b) Queremos
B=0.98\times0.99\times1.02 = (1-0.02)(1-0.01)(1+0.02).
Primeiro (1-0.02)(1+0.02)=1-0.0004. Multiplicando por (1-0.01):
B \approx (1 - 0.0004)(1 - 0.01) \approx 1 - 0.0004 - 0.01 = 1 - 0.0104 = 0.9896.

Passo 4

(c) Definimos
C = 3.001\,(2.0023)^3\,\cos\bigl((1.002)\pi\bigr).
  1. (2.0023)^3 = 8\,(1.00115)^3. Como \epsilon=0.00115,
(1+\epsilon)^3 \approx 1 + 3\epsilon = 1 + 0.00345,
(2.0023)^3 \approx 8\cdot1.00345 = 8.0276.
  1. Multiplicando por 3.001:
3.001\times8.0276 \approx 24.0828 + 0.0080 = 24.0908.
  1. Para o cosseno,
\cos\bigl(\pi + 0.002\pi\bigr) = -\cos(0.002\pi)\approx -\Bigl(1-\tfrac{(0.002\pi)^2}{2}\Bigr) \approx -1 + 1{,}97\times10^{-5}.
  1. Portanto
C \approx 24.0908\bigl(-1 + 1{,}97\times10^{-5}\bigr) \approx -24.0908 + 0.00048 = -24.0903.

Passo 5

(d) Seja
D = (12.03\times10.04)^{1.08}.
Calcule 12.03\times10.04 = 120.7812. Então
D = 120.7812^{1.08} = \exp\bigl(1.08\ln(120.7812)\bigr).
Aproximando \ln(120.7812)\approx4.7940, tem-se
1.08\times4.7940 = 5.1785,\quad D\approx e^{5.1785}\approx148.413\times e^{0.1785}\approx148.413\times1.1954\approx177.4.

Passo 6

(e) Seja
E = 8.99 \sqrt{\,9.99 - 1.01^3\,}.
Calculamos 1.01^3 = 1.030301, logo
9.99 - 1.030301 = 8.959699.
Escrevendo 8.959699 = 9\,(1 - 0.0044779),
\sqrt{8.959699} = 3\sqrt{1 - 0.0044779}\approx3\Bigl(1 - \tfrac{0.0044779}{2}\Bigr) =3(1 - 0.00223895)=2.99328.
Multiplicando por 8.99:
E \approx 8.99\times2.99328\approx26.91.

Passo 7

(f) Finalmente
F = 1.0023\times 2.9931^3 + \cos\bigl(1.00012\,\pi\bigr).
  1. Note 2.9931 = 3(1-0.0023), assim
2.9931^3 = 27\,(1-0.0023)^3\approx27\bigl(1-3\cdot0.0023\bigr)=27(1-0.0069)=26.8143.
  1. Multiplicando por 1.0023:
1.0023\times26.8143\approx26.8143 + 0.0617 = 26.8760.
  1. Para o cosseno,
\cos\bigl(\pi + 0.00012\pi\bigr)\approx -\Bigl(1-\tfrac{(0.00012\pi)^2}{2}\Bigr) \approx -1 + 7\times10^{-8}.
  1. Logo
F \approx 26.8760 - 1 + 7\times10^{-8} = 25.8760.

Resposta

(a) 1.00110
(b) 0.9896
(c) -24.0903
(d) 177.4
(e) 26.91
(f) 25.8760

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