Esboce as curvas de nível de f, para os seguintes c :
f(x, y)=x^{2}+x y, c=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas de nível de
f(x,y)=x^{2}+x\,y
para os valores de c=0,\pm1,\pm2,\pm3. O conteúdo envolve classificação de conicas de segundo grau e fatoração da forma quadrática.

Passo 2

Repare que
f(x,y)=x^{2}+x\,y =x\,(x+y).
Fazendo a mudança de variáveis
u=x,\qquad v=x+y,
temos
f(x,y)=u\,v.
Logo cada curva de nível f(x,y)=c fica
u\,v=c.

Passo 3

Quando c=0 temos
u\,v=0\;\Longrightarrow\;u=0\quad\text{ou}\quad v=0,
isto é, em (x,y):
x=0 \quad\text{ou}\quad x+y=0.
Essas são duas retas que se cruzam na origem.

Passo 4

Para c\neq0 a equação
u\,v=c
é uma hipérbole equilátera (retações retangulares) no plano (u,v), com assíntotas u=0 e v=0. Voltando a (x,y), as assíntotas são
x=0 \quad\text{e}\quad y=-x.

Passo 5

Para desenhar cada hipérbole em (x,y) podemos isolar y:
u\,v=c \;\Longrightarrow\; x\,(x+y)=c \;\Longrightarrow\; y=-x+\frac{c}{x}.
Então cada curva de nível f(x,y)=c é dada por
y=-x+\frac{c}{x}.

Passo 6

A localização das ramos depende do sinal de c:
  • Se c>0, então u e v têm mesmo sinal, de modo que há dois ramos:
  1. x>0 e x+y>0 (região à direita da reta x=0 e acima da reta y=-x).
  2. x<0 e x+y<0 (região à esquerda de x=0 e abaixo de y=-x).
  • Se c<0, então u e v têm sinais opostos, e os dois ramos ficam
  1. x>0 e x+y<0.
  2. x<0 e x+y>0.

Passo 7

Ao variar \lvert c\rvert de 1 a 3, as hipérboles se afastam da origem:
  • Para \lvert c\rvert pequeno, os ramos passam próximos ao vértice entre as assíntotas.
  • Para \lvert c\rvert maior, os ramos “abrem” mais e ficam mais distantes do cruzamento das assíntotas.

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=x^{2}+x\,y são: c=0: as retas x=0 e y=-x. c=\pm1,\pm2,\pm3: hipérboles de equação
y=-x+\frac{c}{x},
com assíntotas x=0 e y=-x.
Para c>0 os ramos ficam em regiões onde x e x+y têm o mesmo sinal; para c<0, onde têm sinais opostos.

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