Esboce as curvas de nível de
, para os seguintes
:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar as curvas de nível de
para os valores de
. O conteúdo envolve classificação de conicas de segundo grau e fatoração da forma quadrática.
Passo 2
Repare que
Fazendo a mudança de variáveis
temos
Logo cada curva de nível
fica
Passo 3
Quando
temos
isto é, em
:
Essas são duas retas que se cruzam na origem.
Passo 4
Para
a equação
é uma hipérbole equilátera (retações retangulares) no plano
, com assíntotas
e
. Voltando a
, as assíntotas são
Passo 5
Para desenhar cada hipérbole em
podemos isolar
:
Então cada curva de nível
é dada por
Passo 6
A localização das ramos depende do sinal de
:
- Se
, então e têm mesmo sinal, de modo que há dois ramos:
-
e (região à direita da reta e acima da reta ). -
e (região à esquerda de e abaixo de ).
- Se
, então e têm sinais opostos, e os dois ramos ficam
-
e . -
e .
Passo 7
Ao variar
de 1 a 3, as hipérboles se afastam da origem:
- Para
pequeno, os ramos passam próximos ao vértice entre as assíntotas. - Para
maior, os ramos “abrem” mais e ficam mais distantes do cruzamento das assíntotas.
Resposta
As curvas de nível de
são:
: as retas
e
.
: hipérboles de equação
com assíntotas
e
.
Para os ramos ficam em regiões onde
e
têm o mesmo sinal; para
, onde têm sinais opostos.
Para