1. Calcule a área do conjunto do plano limitado pelas retas x=0, x=1, y=0 e pelo gráfico de f(x)=x^{2}.
Seja A a área:
A=\int_{0}^{1} x^{2} d x=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3} u . a

Passo 1

O enunciado nos pede a área do domínio do plano limitado pelas retas x=0, x=1, y=0 e pelo gráfico de f(x)=x^2. O conteúdo aqui é cálculo de área sob a curva de uma função contínua em [0,1] usando integral definida.

Passo 2

Para obter essa área, reconhecemos que ela é dada por
A=\int_{0}^{1}f(x)\,dx
onde f(x)=x^2. Logo,
A=\int_{0}^{1}x^2\,dx.

Passo 3

Precisamos encontrar uma primitiva de x^2. Lembrando que a integral de x^n é \tfrac{x^{n+1}}{n+1}, temos
\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C.

Passo 4

Agora avaliamos a primitiva no intervalo de 0 a 1:
A=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} =\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3} =\frac{1}{3}.

Resposta

A=\frac{1}{3}\text{ unidades de área.}á

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