Calcule a área do paralelogramo construído sobre os vetores 
  e 
 , sabendo que 
 , 
 , o ângulo formado pelos vetores 
  é 
  e que 
  é a projeção do vetor 
  sobre o vetor 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um paralelogramo construído sobre os vetores 
  e 
 . Para isso, vamos usar conceitos de vetores, projeção e cálculo da área usando o produto vetorial. Vamos precisar lembrar como projetar um vetor sobre outro e como calcular a área de um paralelogramo a partir dos vetores que o formam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a projeção de um vetor. A projeção do vetor 
  sobre o vetor 
  é um vetor que aponta na direção de 
  e tem magnitude igual à parte de 
  que vai na direção de 
 . A fórmula para a projeção é:
Aqui, 
  é essa projeção, então:
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar 
 . Sabemos que:
Onde 
 , 
  e 
 . Então:
Passo 4
Agora, usamos esse valor para encontrar 
 :
Passo 5
Com 
  definida, vamos calcular o vetor 
 . Esse vetor é simplesmente duas vezes 
  menos três vezes 
 :
Passo 6
A área do paralelogramo formado por dois vetores é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores:
Como 
  é uma projeção de 
  sobre 
 , ela é colinear a 
 . Portanto, o produto vetorial de 
  com 
  será zero. Fica sobrando apenas:
Passo 7
Agora, vamos calcular 
 . Sabemos que:
E o produto vetorial 
  é:
Então:
Passo 8
Agora, voltando à área:
Resposta
A área do paralelogramo é 9 unidades de área.