Os pontos 
  e 
  formam um triângulo.
(a) Determine a projeção do lado 
  sobre o lado 
 .
(b) Obtenha, se possível, o valor de 
  para que o vetor 
  seja colinear ao vetor projeção.
(a) Determine a projeção do lado
(b) Obtenha, se possível, o valor de
Passo 1
Beleza! A gente tem um triângulo formado pelos pontos 
 , 
  e 
 . O exercício está dividindo em duas partes:
a) Encontrar a projeção do lado 
  sobre o lado 
 .
b) Verificar se é possível achar um valor de 
  tal que o vetor 
  seja colinear com a projeção que a gente encontrar no item (a).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores no espaço tridimensional, como cálculo de vetores, projeção de um vetor sobre outro e condição de colinearidade entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores 
  e 
 . Esses vetores representam os lados do triângulo que vamos trabalhar.
Para encontrar 
 , subtraímos as coordenadas de 
  das coordenadas de 
 :
Para encontrar 
 , subtraímos as coordenadas de 
  das coordenadas de 
 :
Passo 3
Agora, vamos calcular a projeção do vetor 
  sobre o vetor 
 . A fórmula para a projeção de 
  sobre 
  é:
Onde 
  representa o produto escalar entre os vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar 
  e 
 :
Agora, aplicando na fórmula da projeção:
Passo 5
Agora, para a segunda parte, queremos que o vetor 
  seja colinear com a projeção que encontramos, ou seja:
Para algum escalar 
 .
Isso significa que cada componente de 
  deve ser múltiplo da componente correspondente da projeção:
Vamos resolver essas equações para encontrar 
  e verificar se existe um 
  comum.
Passo 6
Primeiro, da segunda equação:
Agora, usando esse valor de 
  na primeira equação:
Vamos verificar na terceira equação:
Isso não é verdadeiro, então não existe um valor de 
  que faça 
  ser colinear com a projeção de 
  sobre 
 .
Resposta
(a) A projeção do lado 
  sobre o lado 
  é 
 .
(b) Não existe um valor de 
  que faça o vetor 
  ser colinear à projeção calculada.