Calcule a área da região delimitada pelas equações
x^{2}+y^{2}=4, \quad(x-2)^{2}+y^{2}=4

Passo 1

O enunciado pede a área da região comum (interseção) entre as duas curvas:
x^{2}+y^{2}=4,\qquad (x-2)^{2}+y^{2}=4.
Informações fornecidas que vamos usar:
  • A primeira equação é um círculo com centro em (0,0) e raio r=2.
  • A segunda equação é um círculo com centro em (2,0) e raio r=2.
  • Queremos a área da região que está dentro dos dois círculos ao mesmo tempo (a “lente” formada pela interseção).

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção dos dois círculos (vai ajudar a localizar a corda que define os segmentos circulares).
Subtraindo as duas equações:
(x-2)^{2}+y^{2} - (x^{2}+y^{2}) = 4-4 \quad\Rightarrow\quad x^{2}-4x+4 - x^{2} = 0,
portanto
-4x+4=0 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Substituindo x=1 em x^{2}+y^{2}=4:
1 + y^{2} = 4 \quad\Rightarrow\quad y^{2}=3 \quad\Rightarrow\quad y=\pm\sqrt{3}.
Logo os pontos de interseção são (1,\sqrt{3}) e (1,-\sqrt{3}). Isso confirma que a corda que delimita a interseção é a reta vertical x=1.

Passo 3

Por simetria em relação ao eixo x, a área total da interseção é duas vezes a área da parte com y\ge 0. Cada metade é um segmento circular dentro de um dos círculos (os dois segmentos são congruentes). Vou calcular a área de um segmento num dos círculos e multiplicar por 2.
Escolhendo o círculo centrado em (0,0) com raio r=2: a corda corresponde aos pontos (1,\pm\sqrt{3}). A distância do centro (0,0) até a corda (reta x=1) é
d = |1| = 1.
Esse d é a distância do centro até a corda.

Passo 4

Encontrar o ângulo central associado ao segmento. Seja \theta o ângulo entre o raio perpendicular à corda e um dos raios que vão do centro até os pontos de interseção. Temos a relação
\cos\theta = \frac{d}{r} = \frac{1}{2}.
Portanto
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}.
O ângulo central correspondente ao setor que contém o segmento é 2\theta, isto é
2\theta = \frac{2\pi}{3}.

Passo 5

Calcular a área do setor circular com ângulo 2\theta. A área de um setor de círculo de raio r e ângulo \alpha (em radianos) é a fração \dfrac{\alpha}{2\pi} da área do círculo inteiro, ou equivalentemente
\text{Área do setor} = \frac{1}{2} r^{2}\alpha.Á
Aqui r=2 e \alpha=2\theta=\dfrac{2\pi}{3}. Logo
\text{Área do setor} = \frac{1}{2}\cdot 4 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}.Á

Passo 6

Calcular a área do triângulo isósceles formado pelo centro (0,0) e os dois pontos de interseção. Para um triângulo com dois lados iguais a r e ângulo entre eles \alpha=2\theta, a área é
\text{Área do triângulo} = \frac{1}{2} r^{2}\sin\alpha.Áâ
Com r=2 e \alpha=\dfrac{2\pi}{3}, temos \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Então
\text{Área do triângulo} = \frac{1}{2}\cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}.Áâ

Passo 7

A área do segmento circular (a parte do setor que fica acima da corda) é a diferença entre a área do setor e a área do triângulo:
\text{Área do segmento} = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}.Á
Como a lente é formada por dois desses segmentos (um em cada círculo), a área total da interseção é
\text{Área total} = 2\left(\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}\right) = \frac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3}.Á

Passo 8

Uma verificação rápida: valores aproximados dão \dfrac{8\pi}{3}\approx 8{,}3776 e 2\sqrt{3}\approx 3{,}4641, então a área fica aproximadamente 4{,}9135, um valor positivo e razoável para a região sobreposta.

Resposta

\displaystyle \frac{8\pi}{3}-2\sqrt{3}

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