Calcule a área da região delimitada pelas equações
Passo 1
O enunciado pede a área da região comum (interseção) entre as duas curvas:
Informações fornecidas que vamos usar:
- A primeira equação é um círculo com centro em
e raio . - A segunda equação é um círculo com centro em
e raio . - Queremos a área da região que está dentro dos dois círculos ao mesmo tempo (a “lente” formada pela interseção).
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção dos dois círculos (vai ajudar a localizar a corda que define os segmentos circulares).
Subtraindo as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
portanto
Substituindo
em
:
Logo os pontos de interseção são
e
. Isso confirma que a corda que delimita a interseção é a reta vertical
.
Passo 3
Por simetria em relação ao eixo
, a área total da interseção é duas vezes a área da parte com
. Cada metade é um segmento circular dentro de um dos círculos (os dois segmentos são congruentes). Vou calcular a área de um segmento num dos círculos e multiplicar por
.
Escolhendo o círculo centrado em
com raio
: a corda corresponde aos pontos
. A distância do centro
até a corda (reta
) é
Esse
é a distância do centro até a corda.
Passo 4
Encontrar o ângulo central associado ao segmento. Seja
o ângulo entre o raio perpendicular à corda e um dos raios que vão do centro até os pontos de interseção. Temos a relação
Portanto
O ângulo central correspondente ao setor que contém o segmento é
, isto é
Passo 5
Calcular a área do setor circular com ângulo
. A área de um setor de círculo de raio
e ângulo
(em radianos) é a fração
da área do círculo inteiro, ou equivalentemente
Aqui
e
. Logo
Passo 6
Calcular a área do triângulo isósceles formado pelo centro
e os dois pontos de interseção. Para um triângulo com dois lados iguais a
e ângulo entre eles
, a área é
Com
e
, temos
. Então
Passo 7
A área do segmento circular (a parte do setor que fica acima da corda) é a diferença entre a área do setor e a área do triângulo:
Como a lente é formada por dois desses segmentos (um em cada círculo), a área total da interseção é
Passo 8
Uma verificação rápida: valores aproximados dão
e
, então a área fica aproximadamente
, um valor positivo e razoável para a região sobreposta.