Calcule
I=\iint_{D} \frac{(x+y) e^{(x+y)^{2}+(x-y)^{2}}}{\sqrt{2 x^{2}+2 y^{2}}} d x d y
onde
D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1, x-y \geq 0\right\} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I=\iint_{D} \frac{(x+y) e^{(x+y)^{2}+(x-y)^{2}}}{\sqrt{2 x^{2}+2 y^{2}}}\,dx\,dy
sobre a região
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1,\; x-y\ge 0\}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A região é o disco de raio 1 centrado na origem, cortado pela meia-plano x-y\ge 0.
  • O integrando envolve as combinações lineares x+y e x-y e a quantidade \sqrt{2x^{2}+2y^{2}}.
  • O objetivo é obter o valor numérico da integral I.

Passo 2

Escolha do método: uma boa ideia é trocar para variáveis que diagonalizam as combinações x+y e x-y. Definimos as novas variáveis lineares
u=x+y,\qquad v=x-y.
Motivo: o integrando e a condição x-y\ge 0 ficam muito simples em (u,v). Agora explico como fazer a mudança de forma rigorosa.
Invertendo a transformação obtemos x e y em função de u,v:
x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{u-v}{2}.
Para a mudança de variáveis precisamos do jacobiano \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}. Calcula-se a matriz das derivadas parciais:
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[4pt] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.
O determinante é
\det\!\left(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right) =\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}.
Portanto o fator de mudança de área é |\det|=\dfrac{1}{2}, ou seja
dx\,dy=\frac{1}{2}\,du\,dv.]

Passo 3

Escrever o integrando em função de u,v.
Primeiro reescrevemos as quantidades que aparecem no integrando:
x+y=u,\qquad x-y=v.
Além disso
(x+y)^{2}+(x-y)^{2}=u^{2}+v^{2},
e
2x^{2}+2y^{2}=u^{2}+v^{2}\quad\Rightarrow\quad\sqrt{2x^{2}+2y^{2}}=\sqrt{u^{2}+v^{2}}.
Substituindo tudo no integrando obtemos
\frac{(x+y) e^{(x+y)^{2}+(x-y)^{2}}}{\sqrt{2 x^{2}+2 y^{2}}} =\frac{u\,e^{u^{2}+v^{2}}}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}.
Com o jacobiano, o elemento de área fica dx\,dy=\dfrac{1}{2}\,du\,dv. Assim a integral transforma-se em
I=\iint_{D'} \frac{1}{2}\,\frac{u\,e^{u^{2}+v^{2}}}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}\,du\,dv,
onde D' é o domínio D expresso em (u,v).

Passo 4

Descrever o domínio D' em (u,v).
A condição x^{2}+y^{2}\le 1 em termos de u,v é
x^{2}+y^{2}=\frac{u^{2}+v^{2}}{2}\le 1 \quad\Longrightarrow\quad u^{2}+v^{2}\le 2.
A condição x-y\ge 0 é simplesmente v\ge 0.
Portanto D' é o semicírculo (meia-disco) de raio \sqrt{2} com v\ge 0:
D'=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 2,\; v\ge 0\}.
Agora usamos simetria para avaliar a integral. Observe que a função a integrar é
f(u,v)=\frac{1}{2}\,\frac{u\,e^{u^{2}+v^{2}}}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}.
Para cada ponto (u,v) no semicírculo existe o ponto (-u,v) que também pertence ao semicírculo (o domínio é simétrico em relação ao eixo v). Note que f(-u,v)=-f(u,v): a função é ímpar em u porque aparece um fator multiplicativo u e todo o resto depende apenas de u^{2}+v^{2} (par em u). Portanto, integrando em u sobre um intervalo simétrico em torno de zero dá zero.
Escrevendo explicitamente a integral como integral iterada:
I=\frac{1}{2}\int_{v=0}^{\sqrt{2}}\left(\int_{u=-\sqrt{2-v^{2}}}^{\sqrt{2-v^{2}}}\frac{u\,e^{u^{2}+v^{2}}}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}\,du\right)dv.
Para cada v fixo a função integranda em u é ímpar e os limites em u são simétricos, logo a integral interna é zero. Assim para todo v o integrando do dv é zero, e concluímos
I=0.

Passo 5

Interpretação curta: a mudança u=x+y,\\ v=x-y tornou o domínio um semicírculo simétrico em u e o integrando ímpar em u, portanto as contribuições positivas e negativas em u se cancelam, dando integral nula.

Resposta

0

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