Calcule
onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
sobre a região
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A região é o disco de raio
centrado na origem, cortado pela meia-plano . - O integrando envolve as combinações lineares
e e a quantidade . - O objetivo é obter o valor numérico da integral
.
Passo 2
Escolha do método: uma boa ideia é trocar para variáveis que diagonalizam as combinações
e
. Definimos as novas variáveis lineares
Motivo: o integrando e a condição
ficam muito simples em
. Agora explico como fazer a mudança de forma rigorosa.
Invertendo a transformação obtemos
e
em função de
:
Para a mudança de variáveis precisamos do jacobiano
. Calcula-se a matriz das derivadas parciais:
O determinante é
Portanto o fator de mudança de área é
, ou seja
Passo 3
Escrever o integrando em função de
.
Primeiro reescrevemos as quantidades que aparecem no integrando:
Além disso
e
Substituindo tudo no integrando obtemos
Com o jacobiano, o elemento de área fica
. Assim a integral transforma-se em
onde
é o domínio
expresso em
.
Passo 4
Descrever o domínio
em
.
A condição
em termos de
é
A condição
é simplesmente
.
Portanto é o semicírculo (meia-disco) de raio
com
:
Portanto
Agora usamos simetria para avaliar a integral. Observe que a função a integrar é
Para cada ponto
no semicírculo existe o ponto
que também pertence ao semicírculo (o domínio é simétrico em relação ao eixo
). Note que
: a função é ímpar em
porque aparece um fator multiplicativo
e todo o resto depende apenas de
(par em
). Portanto, integrando em
sobre um intervalo simétrico em torno de zero dá zero.
Escrevendo explicitamente a integral como integral iterada:
Para cada
fixo a função integranda em
é ímpar e os limites em
são simétricos, logo a integral interna é zero. Assim para todo
o integrando do
é zero, e concluímos
Passo 5
Interpretação curta: a mudança
tornou o domínio um semicírculo simétrico em
e o integrando ímpar em
, portanto as contribuições positivas e negativas em
se cancelam, dando integral nula.