Calcule a área da região limitada, definida pelas seguintes curvas:
y=x e y=x^{2};

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x e y = x^2. Isso envolve cálculo de área entre duas curvas: primeiro encontramos os pontos de interseção, depois determinamos qual função está acima da outra no intervalo, e finalmente aplicamos a fórmula da área via integração.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, resolvemos
x^2 = x
x^2 - x = 0
x(x - 1) = 0
Portanto, x = 0 e x = 1. Os pontos de interseção são (0,0) e (1,1).

Passo 3

Para 0 < x < 1, comparamos x e x^2: como 0<x<1 implica x^2 < x, concluímos que y = x é a curva superior e y = x^2 é a curva inferior nesse intervalo.

Passo 4

A área A entre as duas curvas de x=0 a x=1 é dada por
A = \int_{0}^{1} \bigl(\text{superior} - \text{inferior}\bigr)\,dx = \int_{0}^{1} \bigl(x - x^2\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculando a integral em partes:
\int_{0}^{1} x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2},
\int_{0}^{1} x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
Logo,
A = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}.

Resposta

A área da região é \tfrac{1}{6}.

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