Verdadeiro ou Falso? Justifique.
\begin{aligned} & \text { ( ) } \int_{-1}^{0} f(x) d x=-\int_{0}^{1} f(x) d x \\ & \text { ( ) } \int_{-1}^{0} f(x) d x=-\int_{0}^{-1} f(x) d x \\ & \text { ( } 2-x) d x=\int_{1}^{-1}(x-2) d x \end{aligned}

Passo 1

O enunciado traz três igualdades envolvendo integrais definidas e pede para dizer se cada uma é verdadeira ou falsa, justificando. O conteúdo principal é a propriedade de mudança de limites em integrais definidas, que diz que
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = -\int_{b}^{a} f(x)\,dx,
além de manipulações algébricas de integrais em intervalos simétricos.

Passo 2

Analisando
\int_{-1}^{0} f(x)\,dx \stackrel{?}{=} -\int_{0}^{1} f(x)\,dx,
vemos que os intervalos de integração são [-1,0] e [0,1], que não estão relacionados apenas pela troca de limites, mas também não há nenhuma hipótese sobre f (como ser ímpar). Logo, em geral não vale que
\int_{-1}^{0} f(x)\,dx = -\int_{0}^{1} f(x)\,dx.
Essa afirmação é falsa.

Passo 3

Analisando
\int_{-1}^{0} f(x)\,dx \stackrel{?}{=} -\int_{0}^{-1} f(x)\,dx,
aplicamos diretamente a propriedade de troca de limites
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = -\int_{b}^{a} f(x)\,dx \,,
com a=-1 e b=0. Portanto
\int_{-1}^{0} f(x)\,dx = -\int_{0}^{-1} f(x)\,dx
é verdadeira.

Passo 4

Analisando
\int_{-1}^{1} (2 - x)\,dx \stackrel{?}{=} \int_{1}^{-1} (x - 2)\,dx,
observe que ao trocar os limites na integral da direita aparece um sinal negativo:
\int_{1}^{-1} (x-2)\,dx = -\int_{-1}^{1}(x-2)\,dx.
Mas note que x-2=-(2-x), então
-\int_{-1}^{1}(x-2)\,dx = -\int_{-1}^{1}\bigl[-(2-x)\bigr]\,dx = \int_{-1}^{1}(2-x)\,dx.
Logo as duas integrais são iguais, e a afirmação é verdadeira.

Resposta

  1. Falso
  2. Verdadeiro
  3. Verdadeiro

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