Calcule a área da região limitada, definida pelas seguintes curvas:
y=x^{2}-1 e y=1-x^{2};

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas \displaystyle y = x^{2}-1 e \displaystyle y = 1 - x^{2}.
O conteúdo é cálculo de área entre duas curvas no plano, que se resolve por integração da diferença da função superior pela inferior.

Passo 2

Para achar os limites de integração, determinamos as interseções resolvendo
x^{2}-1 \;=\; 1 - x^{2}.
Isso dá
2x^{2} = 2 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm1.

Passo 3

No intervalo [-1,1], comparando
1 - x^{2} \quad\text{e}\quad x^{2}-1
vemos que \,1 - x^{2}\ge x^{2}-1.
Portanto, \,y_{\text{top}} = 1 - x^{2} e \,y_{\text{bot}} = x^{2}-1.

Passo 4

A área A é dada por
A = \int_{x=-1}^{1}\bigl[(1 - x^{2}) - (x^{2}-1)\bigr]\,dx =\int_{-1}^{1}(2 - 2x^{2})\,dx.

Passo 5

Calculando a integral, seja
F(x) = \int(2 - 2x^{2})\,dx = 2x - \tfrac{2}{3}x^{3}.
Logo,
A = \bigl[\,2x - \tfrac{2}{3}x^{3}\bigr]_{-1}^{1} = \bigl(2 - \tfrac{2}{3}\bigr)\;-\;\bigl(-2 + \tfrac{2}{3}\bigr) = \tfrac{4}{3} - \bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr) = \tfrac{8}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{3}

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