Calcule a área da região limitada, definida pelas seguintes curvas:
e
;
Passo 1
O enunciado pede a área da região comum entre as curvas
; e
. O conteúdo envolvido é cálculo de integração definida para área entre curvas, e vamos precisar: 1) encontrar os pontos de interseção, 2) identificar qual curva está acima da outra no intervalo e 3) calcular a integral da diferença entre as duas funções.
Passo 2
Para achar os pontos em que as curvas se cruzam, igualamos
e obtemos a equação quadrática
Usando a fórmula de Bhaskara,
logo os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Para
entre
e
, a reta
fica acima da parábola
, pois por exemplo em
temos
e
. Portanto, a função superior é
e a inferior é
.
Passo 4
A área pedida é dada por
Passo 5
Calculamos a integral:
Avaliaremos de
a
:
No numerador superior:
No numerador inferior:
Subtraindo,
No numerador inferior:
Subtraindo,
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
.