Calcule a área da região limitada, definida pelas seguintes curvas:
y=x^{2} e y=2 x+8;

Passo 1

O enunciado pede a área da região comum entre as curvas \;y = x^2; e \;y = 2x + 8. O conteúdo envolvido é cálculo de integração definida para área entre curvas, e vamos precisar: 1) encontrar os pontos de interseção, 2) identificar qual curva está acima da outra no intervalo e 3) calcular a integral da diferença entre as duas funções.

Passo 2

Para achar os pontos em que as curvas se cruzam, igualamos
x^2 = 2x + 8
e obtemos a equação quadrática
x^2 - 2x - 8 = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara,
x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-8)}}{2\cdot1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2},
logo os pontos de interseção são \;x = 4 e \;x = -2.

Passo 3

Para x entre -2 e 4, a reta \;y = 2x + 8 fica acima da parábola \;y = x^2, pois por exemplo em x=0 temos 2\cdot0+8=8 e 0^2=0. Portanto, a função superior é \;2x+8 e a inferior é \;x^2.

Passo 4

A área pedida é dada por
\int_{x=-2}^{4} \bigl[(2x+8) - x^2\bigr]\,dx.

Passo 5

Calculamos a integral:
\int \bigl(2x+8 - x^2\bigr)\,dx = \int \bigl(-x^2 + 2x + 8\bigr)\,dx = -\tfrac{1}{3}x^3 + x^2 + 8x + C.
Avaliaremos de -2 a 4:
\Bigl[-\tfrac{1}{3}x^3 + x^2 + 8x\Bigr]_{-2}^{4} = \Bigl(-\tfrac{1}{3}\cdot64 + 16 + 32\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{1}{3}\cdot(-8) + 4 -16\Bigr).
No numerador superior: -\tfrac{64}{3} + 48 = \tfrac{-64 + 144}{3} = \tfrac{80}{3}.
No numerador inferior: \;\tfrac{8}{3} + 4 -16 = \tfrac{8 - 36}{3} = -\tfrac{28}{3}.
Subtraindo,
\tfrac{80}{3} - \Bigl(-\tfrac{28}{3}\Bigr) = \tfrac{80 + 28}{3} = \tfrac{108}{3} = 36.

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é 36.

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