Calcule a área da região limitada pelos gráficos de:
y=x^{2} e y=4

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas \,y=x^{2} e \,y=4. Vamos usar o método de integrais definidas para área entre duas curvas, integrando a diferença entre a função superior e a inferior ao longo do intervalo de interseção.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção resolvendo
x^{2}=4
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x=\pm 2.

Passo 3

A área A é dada por
A = \int_{-2}^{2}\bigl(y_{\text{superior}}-y_{\text{inferior}}\bigr)\,dx
onde y_{\text{superior}}=4 e y_{\text{inferior}}=x^{2}. Assim,
A = \int_{-2}^{2}(4 - x^{2})\,dx

Passo 4

Calcular uma primitiva do integrando:
\int(4 - x^{2})\,dx = 4x - \frac{x^{3}}{3}.

Passo 5

Avaliar essa primitiva de -2 a 2:
A = \Bigl(4\cdot2 - \frac{2^{3}}{3}\Bigr)\;-\;\Bigl(4\cdot(-2) - \frac{(-2)^{3}}{3}\Bigr) = \bigl(8 - \tfrac{8}{3}\bigr) - \bigl(-8 + \tfrac{8}{3}\bigr) = 16 - \tfrac{16}{3} = \tfrac{32}{3}.

Resposta

A área da região é \tfrac{32}{3}.

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