Calcule a área da região R determinada pela curva dada, para:
R: y=25-x^{2}, eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pela parábola y=25 - x^{2} e pelo eixo x. O conteúdo aqui é cálculo de área sob a curva usando integrais definidas. Para resolver, vamos (1) encontrar os pontos em que a curva cruza o eixo x e (2) calcular a integral definida da função entre esses pontos.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção da curva com o eixo x, ou seja, resolver
25 - x^{2} = 0.
Isso dá
x^{2} = 25 \quad\Longrightarrow\quad x = -5 \text{ ou } x = 5.

Passo 3

A área A da região R é dada pela integral definida da função f(x)=25 - x^{2} de x=-5 até x=5:
A = \int_{-5}^{5} \bigl(25 - x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 4

Como a função 25 - x^{2} é par, podemos usar simetria e calcular
A = 2 \int_{0}^{5} \bigl(25 - x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 5

Calcular a integral:
\int_{0}^{5} \bigl(25 - x^{2}\bigr)\,dx = \Bigl[25x - \tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{5} = \bigl(125 - \tfrac{125}{3}\bigr) = \tfrac{250}{3}.
Portanto
A = 2 \times \tfrac{250}{3} = \tfrac{500}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{500}{3}

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