Utilizando o Teo. Fund. do Cálculo, calcule a derivada das seguintes funções:
g(x)=\int_{x^{2}}^{\operatorname{Cos}(x)}\left(t^{3}+2 t+6\right) d t

Passo 1

O enunciado define
g(x)=\int_{x^{2}}^{\cos(x)}\bigl(t^{3}+2t+6\bigr)\,dt
e pede g'(x). O conteúdo é o Teorema Fundamental do Cálculo com limites de integração dependentes de x e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
G(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\,dt,
então
G'(x)=f\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)\;-\;f\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).

Passo 3

Aqui temos
f(t)=t^{3}+2t+6, \quad a(x)=x^{2}, \quad b(x)=\cos(x).
Calculando as derivadas:
a'(x)=2x, \quad b'(x)=-\sin(x).

Passo 4

Aplicando a fórmula:
g'(x) =f\bigl(\cos(x)\bigr)\,(-\sin(x)) \;-\;f\bigl(x^{2}\bigr)\,(2x).
Substituindo f:
g'(x) =-(\cos^{3}(x)+2\cos(x)+6)\,\sin(x) \;-\;2x\bigl((x^{2})^{3}+2x^{2}+6\bigr).

Resposta

g'(x) =-(\cos^{3}(x)+2\cos(x)+6)\,\sin(x) \;-\;2x\bigl(x^{6}+2x^{2}+6\bigr).

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