Calcule a área sob o gráfico de f entre x=a e x=b, em cada caso abaixo. Esboce.
f(x)=4-x^{2} e [a, b]=[-2,2];

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a área sob o gráfico da função f(x)=4 - x^2 no intervalo [a,b]=[-2,2]. Esse problema envolve o conceito de área via integral definida e o uso de primitiva (antiderivada). Note que f é par e assume valores não negativos em [-2,2].

Passo 2

Verificamos que para todo x\in[-2,2] vale
4 - x^2 \ge 0,
pois o maior valor de |x| no intervalo é 2 e 4 - 2^2 = 0. Assim, a área desejada corresponde à integral definida
A = \int_{-2}^{2} \bigl(4 - x^2\bigr)\,dx.

Passo 3

Vamos achar uma primitiva de 4 - x^2. Usando as regras de potência e linearidade:
\int 4\,dx = 4x,
\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}.
Logo, uma primitiva é
F(x) = 4x - \frac{x^3}{3}.

Passo 4

Aplicando a Teoria Fundamental do Cálculo:
A = F(2) - F(-2).
Calculando, temos
F(2) = 4\cdot 2 - \frac{2^3}{3} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3},
F(-2) = 4\cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{3} = -8 + \frac{8}{3} = -\frac{16}{3}.
Portanto,
A = \frac{16}{3} - \Bigl(-\frac{16}{3}\Bigr) = \frac{32}{3}.

Passo 5

O esboço da região é a parte da parábola y=4 - x^2 que fica acima do eixo x entre x=-2 e x=2, com vértice em (0,4) e interceptos em (-2,0) e (2,0). Sombreia-se a região abaixo dessa curva e acima do eixo x nesse intervalo.

Resposta

\displaystyle \frac{32}{3}

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