Calcule a área sob o gráfico de f entre x=a e x=b, em cada caso abaixo. Esboce.
f(x)=3+\operatorname{sen} x e [a, b]=[0, \pi / 2];

Passo 1

O enunciado pede a área sob o gráfico de f(x)=3+\sin x no intervalo [a,b]=[0,\pi/2]. Isso envolve cálculo de integral definida:
\text{Área}=\int_{0}^{\pi/2}f(x)\,dxÁ

Passo 2

Montamos a integral
\int_{0}^{\pi/2}(3+\sin x)\,dx
e separamos em
\int_{0}^{\pi/2}3\,dx\;+\;\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx.

Passo 3

Calculamos cada uma:
\int 3\,dx=3x,\quad \int \sin x\,dx=-\cos x.
Logo uma antiderivada de 3+\sin x é
F(x)=3x-\cos x.
A área então é
F\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)-F(0) =\Bigl(3\cdot\tfrac{\pi}{2}-\cos\tfrac{\pi}{2}\Bigr)\;-\;\bigl(0-\cos0\bigr) = \tfrac{3\pi}{2}-0+1 = \tfrac{3\pi}{2}+1.

Passo 4

Esboço qualitativo:
Desenhe eixos x e y, marque x=0 e x=\pi/2. Trace a linha horizontal em y=3 e, a partir de x=0, sobreponha o arco de seno crescente que leva de (0,3+\sin0)=(0,3) até (\pi/2,3+\sin(\pi/2))=(\pi/2,4). A região entre essa curva e o eixo x (de x=0 a \pi/2) é o nosso domínio de integração.

Resposta

A área é \displaystyle \tfrac{3\pi}{2}+1.

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