1. Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo-x, do gráfico de y=\cos x, \operatorname{com} 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}.
    (valor:1,0)

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar, em torno do eixo-x, o arco de curva definido por y=\cos x para 0 \le x \le \tfrac{\pi}{2}. Esse é um problema de cálculo de área de superfície de revolução, e vamos usar a fórmula padrão para rotação em torno do eixo-x.

Passo 2

A fórmula para a área de superfície ao rotacionar y=f(x) de x=a até x=b em torno do eixo-x é
S = 2\pi \int_{a}^{b} y \,\sqrt{1 + \Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^2}\,dx.
Aqui f(x)=\cos x, então
\frac{dy}{dx} = -\sin x \quad\Longrightarrow\quad 1+\Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^2 = 1+\sin^2 x.
Logo o integrando fica y\sqrt{1+(y')^2} = \cos x\,\sqrt{1+\sin^2 x}.

Passo 3

Substituindo na fórmula com a=0 e b=\tfrac{\pi}{2}, temos
S = 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,\sqrt{1+\sin^2 x}\,dx.
Para simplificar, fazemos a mudança de variável
u = \sin x, \quad du = \cos x\,dx,
e os limites viram u(0)=0, u(\tfrac{\pi}{2})=1. Isso transforma o integral em
S = 2\pi \int_{0}^{1} \sqrt{1+u^2}\,du.

Passo 4

Agora precisamos calcular
\int \sqrt{1+u^2}\,du.
Uma primitiva conhecida é
\int \sqrt{1+u^2}\,du = \frac{u}{2}\sqrt{1+u^2} + \frac{1}{2}\ln\bigl(u + \sqrt{1+u^2}\bigr) + C.
Portanto
S = 2\pi \left[\frac{u}{2}\sqrt{1+u^2} + \frac{1}{2}\ln\bigl(u + \sqrt{1+u^2}\bigr)\right]_{0}^{1}.

Passo 5

Ao avaliar de u=0 até u=1, obtemos
S = \pi \Bigl[u\sqrt{1+u^2} + \ln\bigl(u+\sqrt{1+u^2}\bigr)\Bigr]_{0}^{1} = \pi\Bigl(1\cdot\sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2}) - 0\Bigr).

Resposta

S = \pi\bigl(\sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2})\bigr).

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