1. Mostre que o comprimento L do arco dado pelo gráfico da função y=e^{x}, com 0 \leq x \leq 1 é dado por:
L=1+\sqrt{1+e^{2}}-\sqrt{2}+\ln \left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{1+e^{2}}+1}\right)
Sugestão: Para calcular a integral, use a substituição trigonométrica e^{x}=\operatorname{tg} \theta e em seguida use integração por partes.
(valor:1,0)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco do gráfico de y=e^{x} no intervalo 0\le x\le1. O conteúdo aqui é comprimento de curva, usando a fórmula
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;dx.
Para resolver vamos montar essa integral, usar a substituição trigonométrica sugerida e^{x}=\tan\theta e depois completar a integração por partes ou decompor em integrais conhecidas.

Passo 2

Como y=e^{x} temos y'=e^{x}. Então
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+e^{2x}}\;dx.

Passo 3

Fazemos a substituição sugerida
e^{x}=\tan\theta,
logo \theta=\arctan(e^{x}). Daí
dx=\frac{1+e^{2x}}{e^{x}}\;d\theta =\bigl(\cot\theta+\tan\theta\bigr)\,d\theta, \quad \sqrt{1+e^{2x}}=\sqrt{1+\tan^{2}\theta}=\operatorname{sec}\theta.
Substituindo em L vem
L=\int\operatorname{sec}\theta\bigl(\cot\theta+\tan\theta\bigr)\,d\theta =\int\csc\theta\,d\theta+\int\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.

Passo 4

Cada integral é padrão:
\int\csc\theta\,d\theta =\ln\bigl|\tan(\tfrac\theta2)\bigr|+C, \qquad \int\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta =\operatorname{sec}\theta+ C.
Logo uma primitiva é
F(\theta)=\ln\bigl|\tan(\tfrac\theta2)\bigr|+\operatorname{sec}\theta.

Passo 5

Voltamos aos limites em x: para x=0 temos e^{0}=1\implies\theta_{1}=\pi/4; para x=1 vem e^{1}=e\implies\theta_{2}=\arctan(e). Então
L=F\bigl(\theta_{2}\bigr)-F\bigl(\theta_{1}\bigr) =\Bigl[\ln\bigl(\tan\tfrac{\arctan(e)}2\bigr)+\operatorname{sec}(\arctan(e))\Bigr] -\Bigl[\ln\bigl(\tan\tfrac\pi8\bigr)+\operatorname{sec}\tfrac\pi4\Bigr].

Passo 6

Usamos as identidades
\tan\bigl(\tfrac12\arctan(e)\bigr) =\frac{e}{\sqrt{1+e^{2}}+1}, \quad \operatorname{sec}(\arctan(e))=\sqrt{1+e^{2}}, \quad \tan\bigl(\tfrac\pi8\bigr)=\sqrt2-1, \quad \operatorname{sec}\tfrac\pi4=\sqrt2,
e reorganizamos
L =\sqrt{1+e^{2}}-\sqrt2 +\ln\!\Bigl(\frac{e}{\sqrt{1+e^{2}}+1}\Bigr) -\ln\!(\sqrt2-1).
Como \ln(e)=1 e -\ln(\sqrt2-1)=\ln(\sqrt2+1), obtemos
L =1+\sqrt{1+e^{2}}-\sqrt2 +\ln\!\Bigl(\frac{\sqrt2+1}{\sqrt{1+e^{2}}+1}\Bigr).

Resposta

L=1+\sqrt{1+e^{2}}-\sqrt2 +\ln\!\Bigl(\frac{\sqrt2+1}{\sqrt{1+e^{2}}+1}\Bigr).

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