Calcule:
a área total entre a curva y=1-x^{2} e o eixo x sobre o intervalo
0,2.

Passo 1

O enunciado pede a área total entre a curva y = 1 - x^{2} e o eixo x no intervalo [0,2]. O conteúdo aqui é cálculo de área por integrais definidas, levando em conta que onde a curva fica abaixo do eixo x precisamos usar valor absoluto.

Passo 2

Primeiro identificamos onde y=1-x^{2} cruza o eixo x. Resolvendo
1 - x^{2} = 0
temos x = \pm1. No intervalo de interesse [0,2], a curva é positiva em [0,1] e negativa em [1,2].

Passo 3

A área na parte acima do eixo, em [0,1], é
\int_{0}^{1}(1 - x^{2})\,dx.
Calculando,
\int(1 - x^{2})\,dx = x - \frac{x^{3}}{3},
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\int_{0}^{1}(1 - x^{2})\,dx = \Bigl(x - \frac{x^{3}}{3}\Bigr)\Big|_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.

Passo 4

A área na parte abaixo do eixo, em [1,2], é
\int_{1}^{2}\bigl|1 - x^{2}\bigr|\,dx = \int_{1}^{2}(x^{2} - 1)\,dx.
Calculando,
\int(x^{2} - 1)\,dx = \frac{x^{3}}{3} - x,
então
\int_{1}^{2}(x^{2} - 1)\,dx = \Bigl(\frac{x^{3}}{3} - x\Bigr)\Big|_{1}^{2} = \Bigl(\frac{8}{3} - 2\Bigr) - \Bigl(\frac{1}{3} - 1\Bigr) = \frac{2}{3} - \bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr) = \frac{4}{3}.

Passo 5

Somando as duas partes, a área total é
\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2.

Resposta

A área total entre a curva y = 1 - x^{2} e o eixo x em [0,2] é 2.

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