Calcule o valor das seguintes integrais definidas:
\int_{1}^{2}(4 x-2)^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral definida
\int_{1}^{2}(4x-2)^{3}\,dx.
O conteúdo principal é a técnica de substituição em integrais de funções polinomiais compostas.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 4x - 2,
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du = 4\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{4}.

Passo 3

Quando x=1, temos u=4\cdot1-2=2.
Quando x=2, temos u=4\cdot2-2=6.
Assim a integral em x vira em u:
\int_{1}^{2}(4x-2)^{3}\,dx = \int_{u=2}^{6}u^{3}\,\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int_{2}^{6}u^{3}\,du.

Passo 4

Integramos u^{3}:
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4}.
Portanto
\frac{1}{4}\int_{2}^{6}u^{3}\,du = \frac{1}{4}\Bigl[\frac{u^{4}}{4}\Bigr]_{2}^{6} = \frac{1}{16}\bigl(6^{4}-2^{4}\bigr).

Passo 5

Calculamos os valores numéricos:
6^{4}=1296, \quad 2^{4}=16,
então
\frac{1}{16}(1296-16) = \frac{1280}{16} = 80.

Resposta

80

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