Calcule as áreas lateral e total de uma pirâmide triangular regular, sabendo que sua altura mede 12 cm e que o perímetro da base mede 12 cm .

Passo 1

O enunciado fala de uma pirâmide triangular regular com altura h=12,cm e perímetro da base P=12,cm.
Como a base é um triângulo equilátero, cada lado vale
a = \frac{P}{3} = \frac{12}{3} = 4\text{ cm}.

Passo 2

Para calcular a área lateral, precisamos do apótema da pirâmide (ou seja, a altura de cada face lateral). Primeiro achamos o apótema do triângulo da base, que é a distância do centro até o ponto médio de um lado. Para um triângulo equilátero de lado a, esse apótema vale
r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\text{ cm}.

Passo 3

O apótema da pirâmide (slant height) é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por h e r, então
\ell = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{12^2 + \Bigl(\frac{2\sqrt{3}}{3}\Bigr)^2} = \sqrt{144 + \frac{4\cdot3}{9}} = \sqrt{144 + \frac{12}{9}} = \sqrt{\frac{1296+12}{9}} = \sqrt{\frac{1308}{9}} = \frac{\sqrt{1308}}{3} = \frac{2\sqrt{327}}{3}\text{ cm}.

Passo 4

A área lateral A_L de uma pirâmide regular de base de perímetro P e apótema \ell é
A_L = \frac{P\,\ell}{2} = \frac{12 \cdot \bigl(\tfrac{2\sqrt{327}}{3}\bigr)}{2} = 4\sqrt{327}\text{ cm}^2.

Passo 5

A área da base A_B de um triângulo equilátero de lado a é
A_B = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 4^2 = 4\sqrt{3}\text{ cm}^2.

Passo 6

A área total A_T é a soma da área lateral com a área da base:
A_T = A_L + A_B = 4\sqrt{327} + 4\sqrt{3}\text{ cm}^2.

Resposta

Área lateral: 4\sqrt{327},cm ^2
Área total: 4\sqrt{327} + 4\sqrt{3},cm ^2

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