Calcule as áreas sob as curvas nos intervalos dados usando a integral definida:
f(x)=3 x-x^{2}; entre x=1 e x=3.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área sob a curva de f(x)=3x-x^{2} no intervalo entre x=1 e x=3.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=3x-x^{2}.
  • O intervalo é [1,3].
  • A pergunta é: qual é a área sob a curva de f entre x=1 e x=3?

Passo 2

Primeiro, confirmar se a área pedida coincide com a integral definida simples (ou seja, se f(x) é não negativa nesse intervalo). Vou avaliar a função nos extremos e verificar o comportamento entre eles.
Calcular f(1):
f(1)=3\cdot 1 - 1^{2}=3-1=2.
Calcular f(3):
f(3)=3\cdot 3 - 3^{2}=9-9=0.
A derivada é f'(x)=3-2x, que zera em x=\tfrac{3}{2}=1{,}5. Avaliando em x=1{,}5:
f\bigl(1{,}5\bigr)=3\cdot 1{,}5 - (1{,}5)^{2}=4{,}5 - 2{,}25 = 2{,}25>0.
Como f(1)=2>0, f(3)=0 e o máximo entre está em x=1{,}5 com valor positivo, conclui-se que f(x)\ge 0 em todo [1,3]. Portanto a área pedida é exatamente a integral definida
\int_{1}^{3} f(x)\,dx=\int_{1}^{3}\bigl(3x-x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Princípio que vou usar: o Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x)), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Então preciso encontrar uma primitiva F(x) de f(x)=3x-x^{2} e avaliar F(3)-F(1).

Passo 4

Como encontrar a primitiva: usar a regra de potência para integrais. A regra diz que, para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Também posso fatorar constantes: \int c\cdot g(x)\,dx = c\int g(x)\,dx.
Aplicando termo a termo em f(x)=3x-x^{2}:
\int (3x-x^{2})\,dx = 3\int x\,dx - \int x^{2}\,dx.
Calcular cada integral:
3\int x\,dx = 3\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{3}{2}x^{2}, \qquad \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Logo uma primitiva é
F(x)=\frac{3}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x^{3}.
(Constante de integração dispensável para integral definida.)

Passo 5

Avaliar F em x=3:
F(3)=\frac{3}{2}\cdot 3^{2} - \frac{1}{3}\cdot 3^{3} = \frac{3}{2}\cdot 9 - \frac{1}{3}\cdot 27 = \frac{27}{2} - 9.
Transformando 9 em fração com denominador 2:
9=\frac{18}{2}\quad\Rightarrow\quad F(3)=\frac{27}{2}-\frac{18}{2}=\frac{9}{2}.

Passo 6

Avaliar F em x=1:
F(1)=\frac{3}{2}\cdot 1^{2} - \frac{1}{3}\cdot 1^{3} = \frac{3}{2} - \frac{1}{3}.
Calcular a diferença com denominador comum 6:
\frac{3}{2}=\frac{9}{6},\qquad \frac{1}{3}=\frac{2}{6}\quad\Rightarrow\quad F(1)=\frac{9}{6}-\frac{2}{6}=\frac{7}{6}.

Passo 7

Agora a integral definida (a área) é
\int_{1}^{3}\bigl(3x-x^{2}\bigr)\,dx = F(3)-F(1)=\frac{9}{2}-\frac{7}{6}.
Calcular a diferença com denominador comum 6:
\frac{9}{2}=\frac{27}{6}\quad\Rightarrow\quad \frac{27}{6}-\frac{7}{6}=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}.
Portanto a área sob a curva no intervalo [1,3] é \dfrac{10}{3} (aproximadamente 3{,}333\ldots).

Resposta

\dfrac{10}{3}

Exercícios relacionados