Calcule as áreas sob as curvas nos intervalos dados usando a integral definida:
; entre
e
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área sob a curva de
no intervalo entre
e
.
Informações dadas:
- A função é
. - O intervalo é
. - A pergunta é: qual é a área sob a curva de
entre e ?
Passo 2
Primeiro, confirmar se a área pedida coincide com a integral definida simples (ou seja, se
é não negativa nesse intervalo). Vou avaliar a função nos extremos e verificar o comportamento entre eles.
Calcular
:
Calcular
:
A derivada é
, que zera em
. Avaliando em
:
Como
,
e o máximo entre está em
com valor positivo, conclui-se que
em todo
. Portanto a área pedida é exatamente a integral definida
Passo 3
Princípio que vou usar: o Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se
é uma primitiva de
(ou seja,
), então
Então preciso encontrar uma primitiva
de
e avaliar
.
Passo 4
Como encontrar a primitiva: usar a regra de potência para integrais. A regra diz que, para
,
Também posso fatorar constantes:
.
Aplicando termo a termo em
:
Calcular cada integral:
Logo uma primitiva é
(Constante de integração dispensável para integral definida.)
Passo 5
Avaliar
em
:
Transformando
em fração com denominador
:
Passo 6
Avaliar
em
:
Calcular a diferença com denominador comum
:
Passo 7
Agora a integral definida (a área) é
Calcular a diferença com denominador comum
:
Portanto a área sob a curva no intervalo
é
(aproximadamente
).