Calcule a autoindutância de uma bobina toroidal de raio interno " b ", raio externo " a " e raio médio \mathrm{d}=(\mathrm{a}+\mathrm{b}) / 2. Esta bobina possui “n” espiras por unidade de comprimento ao longo da circunferência média. Suponha que o toróide seja estreito, isto é, que a diferença entre os raios externo e interno, (a-b), seja muito menor que o raio médio " r ".
a) Qual o valor da autoindutância para \mathrm{d}=10 \mathrm{~cm}, área da secção transversal igual a 3 \mathrm{~cm}^{2} e \mathrm{n}=50 voltas / \mathrm{cm} ? Considerar o núcleo de ar.
b) Se esta bobina estiver enrolada em um material ferromagnético de permeabilidade relativa, \mu_{r}=1200, qual será o valor da autoindução?

Passo 1

O enunciado pede a autoindutância de uma bobina toroidal estreita de raio médio \mathrm{d}, área da secção transversal A e densidade de espiras n (espiras por unidade de comprimento ao longo da circunferência média). O conteúdo aqui é a fórmula de indutância de um toroide:
L \;=\;\frac{\mu\,N^2\,A}{\ell}\,,
onde \mu=\mu_0\mu_r é a permeabilidade do núcleo, N o número total de espiras e \ell o comprimento médio do toroide.

Passo 2

Expressamos N e \ell em função de n e \mathrm{d}. Como n é espiras por unidade de comprimento na circunferência média,
N \;=\;n\,(2\pi \mathrm{d}),
e o comprimento médio do toroide é
\ell \;=\;2\pi \mathrm{d}.
Substituindo em
L = \frac{\mu\,(n\,2\pi \mathrm{d})^2\,A}{2\pi \mathrm{d}}
vem
L = \mu\;2\pi\,n^2\,\mathrm{d}\,A.

Passo 3

Convertendo para o SI: \mathrm{d}=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}, A=3\\ \mathrm{cm}^2=3\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2, n=50\\ \mathrm{espiras/cm}=50\times100\\ \mathrm{espiras/m}=5000\\ \mathrm{m}^{-1}.
A permeabilidade do vácuo é \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} e para núcleo de ar \mu_r=1, logo \mu=\mu_0.

Passo 4

Substituindo em
L_1 = \mu_0\,2\pi\,n^2\,\mathrm{d}\,A
temos
L_1 = (4\pi\times10^{-7})\;2\pi\;(5000)^2\;(0{,}10)\;(3\times10^{-4})\\ \mathrm{H}.
Calculando, obtemos aproximadamente
L_1 \approx 5{,}9\times10^{-3}\\ \mathrm{H}=5{,}9\\ \mathrm{mH}.

Passo 5

Se o núcleo tiver permeabilidade relativa \mu_r=1200, então
L_2 = \mu_r\,L_1 = 1200\times5{,}9\times10^{-3}\\ \mathrm{H}\approx7{,}1\\ \mathrm{H}.

Resposta

(a) 5{,}9\\ \mathrm{mH}
(b) 7{,}1\\ \mathrm{H}

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