Calcule cada derivada parcial tratando, com exceção de uma, as variáveis independentes como constantes e aplicando as regras de diferenciação.
onde
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A variável de diferenciação é
. - A outra variável
deve ser tratada como constante ao distinguir em relação a . - A função é soma de termos polinomiais em
(com coeficientes que podem depender de ) e uma constante.
Passo 2
Lembrete do conceito e das regras que vamos usar (sem pular etapas):
- Definição (intuição): a derivada parcial
mede a taxa de variação de ao variar mantendo fixo. Formalmente,
mas na prática usamos as regras de diferenciação de uma variável tratando
como constante.
- Regras que usaremos:
- Regra da soma:
. - Regra do fator constante: se
é constante (aqui pode ser número ou depender somente de ), então . - Regra da potência (power rule):
para inteiro positivo. - Derivada de constante é zero:
.
- Regra da soma:
Passo 3
Aplicando a linearidade (regra da soma) vamos derivar termo a termo:
Passo 4
Derivando o primeiro termo
:
Aqui é constante multiplicativa. Pela regra da potência,
Aqui
Passo 5
Derivando o segundo termo
:
Como é tratado como constante, o produto
é uma constante multiplicativa em relação a
. Então
Como
Aqui foi usada a regra do fator constante: primeiro agrupa-se
como coeficiente constante, depois aplica-se a regra da potência a
.
Passo 6
Derivando o terceiro termo
:
Trata-se de constante absoluta (não depende de ), portanto
Trata-se de constante absoluta (não depende de
Passo 7
Somando os resultados parciais obtidos:
Opcionalmente, é possível fatorar para uma forma mais compacta:
Passo 8
Pequeno teste numérico para conferir (faz de conta que estamos na prova e queremos checar rápido): se
e
, então
. Faz sentido com as fórmulas acima.