Calcule cada derivada parcial tratando, com exceção de uma, as variáveis independentes como constantes e aplicando as regras de diferenciação.
\frac{\partial f(x, y)}{\partial x} onde f(x, y)=7 x^{2}+5 x^{2} y+2

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=7x^{2}+5x^{2}y+2 e pede para calcular a derivada parcial de f em relação a x, ou seja \dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável de diferenciação é x.
  • A outra variável y deve ser tratada como constante ao distinguir em relação a x.
  • A função é soma de termos polinomiais em x (com coeficientes que podem depender de y) e uma constante.

Passo 2

Lembrete do conceito e das regras que vamos usar (sem pular etapas):
  • Definição (intuição): a derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x} mede a taxa de variação de f ao variar x mantendo y fixo. Formalmente,
\dfrac{\partial f}{\partial x}=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},
mas na prática usamos as regras de diferenciação de uma variável tratando y como constante.
  • Regras que usaremos:
    1. Regra da soma: \dfrac{d}{dx}(u+v)=\dfrac{du}{dx}+\dfrac{dv}{dx}.
    2. Regra do fator constante: se c é constante (aqui c pode ser número ou depender somente de y), então \dfrac{d}{dx}[c\cdot g(x)]=c\cdot \dfrac{d}{dx}g(x).
    3. Regra da potência (power rule): \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} para n inteiro positivo.
    4. Derivada de constante é zero: \dfrac{d}{dx}C=0.

Passo 3

Aplicando a linearidade (regra da soma) vamos derivar termo a termo:
\dfrac{\partial}{\partial x}\big(7x^{2}+5x^{2}y+2\big)=\dfrac{\partial}{\partial x}(7x^{2})+\dfrac{\partial}{\partial x}(5x^{2}y)+\dfrac{\partial}{\partial x}(2).

Passo 4

Derivando o primeiro termo \;7x^{2}:
Aqui 7 é constante multiplicativa. Pela regra da potência,
\dfrac{\partial}{\partial x}(7x^{2})=7\cdot\dfrac{d}{dx}(x^{2})=7\cdot(2x)=14x.

Passo 5

Derivando o segundo termo \;5x^{2}y:
Como y é tratado como constante, o produto 5y é uma constante multiplicativa em relação a x. Então
\dfrac{\partial}{\partial x}(5x^{2}y)=(5y)\cdot\dfrac{d}{dx}(x^{2})=(5y)\cdot(2x)=10xy.
Aqui foi usada a regra do fator constante: primeiro agrupa-se 5y como coeficiente constante, depois aplica-se a regra da potência a x^{2}.

Passo 6

Derivando o terceiro termo \;2:
Trata-se de constante absoluta (não depende de x), portanto
\dfrac{\partial}{\partial x}(2)=0.

Passo 7

Somando os resultados parciais obtidos:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=14x+10xy+0=14x+10xy.
Opcionalmente, é possível fatorar para uma forma mais compacta:
14x+10xy=2x(7+5y).

Passo 8

Pequeno teste numérico para conferir (faz de conta que estamos na prova e queremos checar rápido): se x=1 e y=2, então \dfrac{\partial f}{\partial x}=14\cdot1+10\cdot1\cdot2=14+20=34. Faz sentido com as fórmulas acima.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=14x+10xy=2x(7+5y)

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