Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
f(t)=\operatorname{sen} t+2 \operatorname{senh} t

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)=\operatorname{sen} t + 2\,\operatorname{senh} t
e pede a primitiva mais geral dessa função (ou seja, uma função F(t) tal que F'(t)=f(t)). Informação importante: a primitiva é determinada até uma constante arbitrária C. Vou listar claramente o que foi pedido:
  • Encontrar F(t) tal que F'(t)=\operatorname{sen} t + 2\,\operatorname{senh} t.
  • No final devo verificar a resposta derivando F(t).

Passo 2

O que é uma primitiva (antiderivada)?
  • Uma função F é primitiva de f se, para todo t no domínio, vale F'(t)=f(t).
  • Se F é uma primitiva de f, então a família completa de primitivas é F(t)+C, onde C é uma constante real arbitrária.
    Também preciso usar a propriedade da linearidade da derivação/integração: a primitiva de uma soma é a soma das primitivas, e constantes podem ser fatoradas. Em forma:
\int (a(t)+b(t))\,dt = \int a(t)\,dt + \int b(t)\,dt, \qquad \int k\cdot a(t)\,dt = k\int a(t)\,dt,
para k constante.

Passo 3

Vou separar f(t) em duas parcelas e integrar cada uma:
\int f(t)\,dt = \int \operatorname{sen} t \,dt + \int 2\,\operatorname{senh} t \,dt.
Aplico a linearidade: a constante 2 sai da integral da segunda parcela:
\int f(t)\,dt = \int \operatorname{sen} t \,dt + 2\int \operatorname{senh} t \,dt.

Passo 4

Integral de \operatorname{sen} t.
  • Lembrança importante sobre derivadas básicas: \dfrac{d}{dt}\bigl(\cos t\bigr)=-\operatorname{sen} t. Isso implica que
\dfrac{d}{dt}\bigl(-\cos t\bigr)=\operatorname{sen} t.
Logo uma primitiva de \operatorname{sen} t é -\cos t. Em notação de integral:
\int \operatorname{sen} t \,dt = -\cos t + C_1,
onde C_1 é constante (vou juntar constantes no final).
Pequeno exemplo extra para fixar: como \dfrac{d}{dt}(\sin t)=\cos t, então \int \cos t\,dt=\sin t. Aqui só inverti o sinal adequado.

Passo 5

Integral de \operatorname{senh} t.
  • Definição e propriedades rápidas das funções hiperbólicas: \operatorname{senh} t = \frac{e^{t}-e^{-t}}{2},\qquad \operatorname{cosh} t = \frac{e^{t}+e^{-t}}{2}.
  • Derivadas básicas: \dfrac{d}{dt}\bigl(\operatorname{cosh} t\bigr)=\operatorname{senh} t e \dfrac{d}{dt}\bigl(\operatorname{senh} t\bigr)=\operatorname{cosh} t.
    Assim, uma primitiva de \operatorname{senh} t é \operatorname{cosh} t:
\int \operatorname{senh} t \,dt = \operatorname{cosh} t + C_2.
Aplicando o fator 2 que estava fora:
2\int \operatorname{senh} t \,dt = 2\operatorname{cosh} t + \text{constante}.

Passo 6

Somando as primitivas das duas parcelas e reunindo a constante arbitrária numa só, obtenho a primitiva geral de f:
F(t) = -\cos t + 2\,\operatorname{cosh} t + C,
onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 7

Verificação (derivando F).
  • Derivada de cada termo: \dfrac{d}{dt}\bigl(-\cos t\bigr)=\operatorname{sen} t, \qquad \dfrac{d}{dt}\bigl(2\,\operatorname{cosh} t\bigr)=2\,\operatorname{senh} t, \qquad \dfrac{d}{dt}C=0.
  • Somando: F'(t)=\operatorname{sen} t + 2\,\operatorname{senh} t,
que é exatamente f(t). Portanto a primitiva encontrada está correta.

Resposta

-\cos t + 2\,\operatorname{cosh} t + C

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