Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a primitiva mais geral dessa função (ou seja, uma função
tal que
). Informação importante: a primitiva é determinada até uma constante arbitrária
. Vou listar claramente o que foi pedido:
- Encontrar
tal que . - No final devo verificar a resposta derivando
.
Passo 2
O que é uma primitiva (antiderivada)?
- Uma função
é primitiva de se, para todo no domínio, vale . - Se
é uma primitiva de , então a família completa de primitivas é , onde é uma constante real arbitrária.
Também preciso usar a propriedade da linearidade da derivação/integração: a primitiva de uma soma é a soma das primitivas, e constantes podem ser fatoradas. Em forma:
para
constante.
Passo 3
Vou separar
em duas parcelas e integrar cada uma:
Aplico a linearidade: a constante 2 sai da integral da segunda parcela:
Passo 4
Integral de
.
- Lembrança importante sobre derivadas básicas:
. Isso implica que
Logo uma primitiva de
é
. Em notação de integral:
onde
é constante (vou juntar constantes no final).
Pequeno exemplo extra para fixar: como
, então
. Aqui só inverti o sinal adequado.
Passo 5
Integral de
.
- Definição e propriedades rápidas das funções hiperbólicas:
- Derivadas básicas:
e .
Assim, uma primitiva deé :
Aplicando o fator 2 que estava fora:
Passo 6
Somando as primitivas das duas parcelas e reunindo a constante arbitrária numa só, obtenho a primitiva geral de
:
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 7
Verificação (derivando
).
- Derivada de cada termo:
- Somando:
que é exatamente
. Portanto a primitiva encontrada está correta.