Calcule cada um dos determinantes a seguir.
\left|\begin{array}{rrrr}2 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 6 & 2 & 0 \\\\ 1 & 1 & -2 & 3\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 6 & 2 & 0 \\\\ 1 & 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é determinante de matriz 4\times4. Vamos usar a expansão de Laplace ao longo da primeira linha, aproveitando os zeros para simplificar.

Passo 2

Expandindo \det(A) ao longo da primeira linha, temos
\det(A) = 2 \cdot D_{11} + 0 \cdot D_{12} + 0 \cdot D_{13} + 1 \cdot (-1)^{1+4} D_{14},
onde D_{1j} é o cofactor correspondente. Como (-1)^{1+4}=(-1)^5=-1,
\det(A) = 2\,D_{11} \;-\; D_{14}.

Passo 3

O menor D_{11} é o determinante da submatriz obtida ao remover linha 1 e coluna 1:
D_{11} = \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 6 & 2 & 0 \\\\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}.
Como há dois zeros na primeira linha dessa submatriz, expandimos por ela:
D_{11} = 1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 0 \\\\ -2 & 3\end{pmatrix} = 1\cdot(2\cdot3 - 0\cdot(-2)) = 6.
O menor D_{14} é o determinante da submatriz obtida ao remover linha 1 e coluna 4:
D_{14} = \det\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 6 & 2 \\\\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha (de novo dois zeros):
D_{14} = 0 - 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 1 & -2\end{pmatrix} + 0 = -\bigl(1\cdot(-2) - 2\cdot1\bigr) = -(-2 - 2) = 4.

Passo 4

Substituindo em \det(A)=2\,D_{11} - D_{14}, obtemos
\det(A) = 2\cdot 6 \;-\; 4 = 12 - 4 = 8.

Resposta

8

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