Calcule cada um dos determinantes a seguir. \left|\begin{array}{rrrr}2 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 6 & 2 & 0 \\\\ 1 & 1 & -2 & 3\end{array}\right| Passo 1O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 6 & 2 & 0 \\\\ 1 & 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}. O conteúdo aqui é determinante de matriz 4\times4. Vamos usar a expansão de Laplace ao longo da primeira linha, aproveitando os zeros para simplificar. Passo 2Expandindo \det(A) ao longo da primeira linha, temos \det(A) = 2 \cdot D_{11} + 0 \cdot D_{12} + 0 \cdot D_{13} + 1 \cdot (-1)^{1+4} D_{14}, onde D_{1j} é o cofactor correspondente. Como (-1)^{1+4}=(-1)^5=-1, \det(A) = 2\,D_{11} \;-\; D_{14}. Passo 3O menor D_{11} é o determinante da submatriz obtida ao remover linha 1 e coluna 1: D_{11} = \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 6 & 2 & 0 \\\\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}. Como há dois zeros na primeira linha dessa submatriz, expandimos por ela: D_{11} = 1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 0 \\\\ -2 & 3\end{pmatrix} = 1\cdot(2\cdot3 - 0\cdot(-2)) = 6. O menor D_{14} é o determinante da submatriz obtida ao remover linha 1 e coluna 4: D_{14} = \det\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 6 & 2 \\\\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}. Expandindo pela primeira linha (de novo dois zeros): D_{14} = 0 - 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 1 & -2\end{pmatrix} + 0 = -\bigl(1\cdot(-2) - 2\cdot1\bigr) = -(-2 - 2) = 4. Passo 4Substituindo em \det(A)=2\,D_{11} - D_{14}, obtemos \det(A) = 2\cdot 6 \;-\; 4 = 12 - 4 = 8. Resposta 8 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule cada um dos determinantes a seguir. \left|\begin{array}{rrrr}2 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 6 & 2 & 0 \\\\ 1 & 1 & -2 & 3\end{array}\right| Calcule cada um dos determinantes a seguir. \left|\begin{array}{rrr}2 & -1 & 2 \\\\ 1 & 3 & 2 \\\\ 5 & 1 & 6\end{array}\right| Sejam \mathbf{A} e \mathbf{B} matrizes n \times n. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falas. \operatorname{det}(\mathbf{A B})=\operatorname{det}(\mathbf{B A}) Calcular a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas. \mathbf{C}=\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1 & 0 \\\\ 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right]