Sejam \mathbf{A} e \mathbf{B} matrizes n \times n. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falas.
\operatorname{det}(\mathbf{A B})=\operatorname{det}(\mathbf{B A})

Passo 1

O enunciado diz que \mathbf A e \mathbf B são matrizes quadradas n\times n e pede para verificar se
\det(\mathbf A\,\mathbf B)=\det(\mathbf B\,\mathbf A).
O conteúdo que usaremos é a propriedade multiplicativa do determinante.

Passo 2

Pela propriedade básica do determinante, para quaisquer matrizes quadradas \mathbf A e \mathbf B de mesma ordem vale
\det(\mathbf A\,\mathbf B)=\det(\mathbf A)\,\det(\mathbf B).

Passo 3

Como os determinantes são números reais (ou complexos), a multiplicação de escalars é comutativa. Logo,
\det(\mathbf A\,\mathbf B) =\det(\mathbf A)\,\det(\mathbf B) =\det(\mathbf B)\,\det(\mathbf A) =\det(\mathbf B\,\mathbf A).

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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