Calcule cada uma das integrais a seguir:
\iiint_{D} x^{2}+y^{2} \mathrm{~d} V, onde D=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{2} ; \quad x^{2}+y^{2} \leq 2, \quad 0 \leq z \leq 1\right\}

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \iiint_{D}(x^{2}+y^{2})\,dV
onde \;D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}\le2,\;0\le z\le1\}.
Este é um problema de integração tripla em um cilindro; vamos usar coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos \,x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;z=z,
de modo que \,x^{2}+y^{2}=r^{2}
e o elemento de volume \,dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
A integral torna-se
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\sqrt{2}}\int_{z=0}^{1}r^{2}\cdot r\,dz\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}}\int_{0}^{1}r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Integramos primeiro em z, já que r^{3} não depende de z:
\int_{0}^{1}r^{3}\,dz = r^{3}\Bigl[z\Bigr]_{0}^{1} = r^{3}.
A integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}}r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Agora integramos em r:
\int_{0}^{\sqrt{2}}r^{3}\,dr = \frac{r^{4}}{4}\Bigl|_{0}^{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^{4}}{4} = \frac{4}{4} = 1.
Restando \displaystyle \int_{0}^{2\pi}1\,d\theta.

Passo 5

Por fim, a integral em \theta
\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta = 2\pi.

Resposta

O valor da integral é 2\pi.

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