Calcule cada uma das integrais a seguir: \iiint_{D} x^{2}+y^{2} \mathrm{~d} V, onde D=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{2} ; \quad x^{2}+y^{2} \leq 2, \quad 0 \leq z \leq 1\right\}
Passo 1
O enunciado pede calcular \displaystyle \iiint_{D}(x^{2}+y^{2})\,dV
onde \;D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}\le2,\;0\le z\le1\}.
Este é um problema de integração tripla em um cilindro; vamos usar coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas fazemos \,x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;z=z,
de modo que \,x^{2}+y^{2}=r^{2}
e o elemento de volume \,dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
A integral torna-se