Calcule cada uma das integrais a seguir:
\iint_{D}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, onde D é a região no primeiro quadrante encerrada no interior do círculo de centro (0,0) e raio 1 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\,dx\,dy
onde D é o quarto de disco de raio 1 no primeiro quadrante.
O conteúdo principal aqui é integração em coordenadas polares, pois a região é circular.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Como D é o quarto de disco no primeiro quadrante, os limites são
0 \le r \le 1,\quad 0 \le \theta \le \tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

O integrando em polares fica
x^{2}-y^{2} = r^{2}\cos^{2}\theta \;-\; r^{2}\sin^{2}\theta = r^{2}\cos(2\theta).
Multiplicando pelo jacobiano r, a integral vira
\iint_{D}(x^{2}-y^{2})\,dx\,dy = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}r^{2}\cos(2\theta)\,r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(2\theta)\,\biggl(\int_{0}^{1}r^{3}\,dr\biggr)\,d\theta.

Passo 4

Calcule a parte radial:
\int_{0}^{1}r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Então a integral fica
\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(2\theta)\,d\theta = \frac{1}{4}\left[\frac{\sin(2\theta)}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{8}\bigl(\sin\pi - \sin0\bigr) = 0.

Resposta

0

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