Calcule o Campo Elétrico devido a um dipolo em um ponto P, ao longo do eixo do dipolo (escolhido aqui como o eixo Oz ) a uma distância z do centro do dipolo. Calcule também o comportamento assintótico deste campo para pontos muito longe do dipolo ( z » d). Compare também, este campo com o de uma carga pontual isolada situada no centro do dipolo.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre Campo Elétrico de um dipolo. O enunciado pede para calcular o campo elétrico de um dipolo em um ponto P localizado ao longo do eixo do dipolo (eixo Oz) a uma distância z do centro do dipolo. Além disso, precisamos analisar como esse campo se comporta quando z é muito maior que a distância d entre as cargas do dipolo (
) e comparar esse campo com o de uma carga pontual isolada situada no centro do dipolo.
Para resolver esse exercício, vamos precisar entender os conceitos de dipolo elétrico, a Lei de Coulomb para calcular o campo elétrico devido a cargas elétricas e o comportamento assintótico de funções para grandes valores de z.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o dipolo elétrico. Um dipolo consiste em duas cargas elétricas de mesmo valor absoluto mas sinais opostos, separadas por uma distância d. Vamos considerar uma carga positiva
localizada no ponto $ (0, 0, \frac{d}{2}) $ e uma carga negativa
no ponto $ (0, 0, -\frac{d}{2}) $. O centro do dipolo está na origem do sistema de coordenadas.
O momento de dipolo $ \mathbf{p} $ é dado por:
onde $ \mathbf{d} $ é o vetor que vai da carga negativa para a positiva. No nosso caso, como as cargas estão alinhadas no eixo Oz, temos:
onde $ \hat{k} $ é o versor na direção do eixo Oz.
Passo 3
Vamos calcular o campo elétrico no ponto P ao longo do eixo Oz a uma distância z do centro do dipolo. O ponto P está localizado na direção positiva de z, ou seja, em $ (0, 0, z) $.
O campo elétrico devido a uma carga pontual é dado pela Lei de Coulomb:
onde:
- $ q $ é a carga,
- $ r $ é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo,
- $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ r $,
- $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Vamos calcular o campo elétrico devido a cada uma das cargas no ponto P e depois somar os campos vetorialmente.
Passo 4
Primeiro, calculamos a distância da carga positiva
ao ponto P:
E a distância da carga negativa
ao ponto P:
Os campos elétricos das cargas
e
no ponto P são:
Como ambos os campos estão na mesma direção ($ \hat{k} $), podemos somá-los diretamente:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão do campo elétrico:
Expandindo e simplificando:
onde $ p = qd $ é o momento de dipolo. Portanto:
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento assintótico do campo elétrico quando $ z \gg d $. Neste caso, a distância z é muito maior que a separação d entre as cargas do dipolo, então podemos desconsiderar termos de ordem superior em d/z.
A expressão para o campo elétrico do dipolo se simplifica para:
Portanto, para grandes distâncias, o campo elétrico de um dipolo decai proporcionalmente a $ \frac{1}{z^3} $.
Passo 7
Vamos comparar o campo elétrico do dipolo com o de uma carga pontual isolada $ Q $ situada no centro do dipolo. O campo elétrico devido a essa carga pontual no ponto P seria:
Comparando com o campo do dipolo:
Podemos ver que, para grandes distâncias, o campo do dipolo decai mais rapidamente ($ \frac{1}{z^3}
\frac{1}{z^2} $). Isso significa que, a longas distâncias, o efeito do dipolo é menor que o de uma carga isolada.
Resposta
O campo elétrico devido a um dipolo no ponto P ao longo do eixo Oz a uma distância z do centro é dado por:
Para pontos muito distantes do dipolo ($ z \gg d $), o campo elétrico decai proporcionalmente a $ \frac{1}{z^3} $. Em comparação, o campo elétrico de uma carga pontual isolada no centro do dipolo decai a $ \frac{1}{z^2} $, indicando que, a longas distâncias, o campo do dipolo é significativamente mais fraco que o de uma carga isolada.