Calcule, caso exista, \lim _{x \rightarrow p} \frac{\operatorname{tg}(x-p)}{x-p}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to p}\frac{\operatorname{tg}(x-p)}{x-p}.
Informações dadas:
  • A expressão envolve \operatorname{tg}, a tangente, aplicada ao argumento x-p.
  • A variável que tende é x e o ponto de limite é x=p.
  • Não foi dada nenhuma restrição adicional sobre p; portanto considerar p\in\mathbb{R}.
    O que se deve encontrar: o valor (se existir) desse limite quando x se aproxima de p.

Passo 2

Fazer a substituição natural para simplificar a forma do limite. Defina a nova variável
u = x-p.
Quando x\to p temos u\to 0. Reescrevendo a expressão em função de u:
\frac{\operatorname{tg}(x-p)}{x-p}=\frac{\operatorname{tg}(u)}{u}.
Portanto o limite original é equivalente a
\lim_{x\to p}\frac{\operatorname{tg}(x-p)}{x-p}=\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{tg}(u)}{u}.

Passo 3

Usar a identidade que relaciona tangente e seno/cosseno. Lembrando que \operatorname{tg}(u)=\tan(u)=\dfrac{\sin u}{\cos u}, pode-se escrever
\frac{\tan(u)}{u}=\frac{\sin u}{u}\cdot\frac{1}{\cos u}.
Aqui cada fator tem significado claro:
  • \dfrac{\sin u}{u} é uma razão seno sobre o próprio argumento;
  • \dfrac{1}{\cos u} é o recíproco do cosseno, que é bem definido perto de u=0 porque \cos 0=1\neq 0.

Passo 4

Analisar o limite do primeiro fator \dfrac{\sin u}{u} quando u\to 0. Esse é um limite clássico; uma prova curta usando o teorema do sanduíche (squeeze) é a seguinte (para 0<u<\tfrac{\pi}{2}):
Considere no círculo trigonométrico as áreas que levam às desigualdades geométricas padrão:
\sin u < u < \tan u.
Dividindo essa desigualdade por \sin u>0 obtém-se
1 < \frac{u}{\sin u} < \frac{1}{\cos u}.
Invertendo os termos (reciprocando) e lembrando que a inversão reverte desigualdades positivas, vem
\cos u < \frac{\sin u}{u} < 1.
Quando u\to 0^+ tem-se \cos u\to 1, então pelo teorema do sanduíche segue que
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Para u\to 0^- a razão \dfrac{\sin u}{u} é a mesma por simetria (seno é ímpar), então o limite bilateral também é 1.

Passo 5

Analisar o segundo fator \dfrac{1}{\cos u}. Como \cos u é contínua e \cos 0=1, temos
\lim_{u\to 0}\cos u=1 \quad\Rightarrow\quad \lim_{u\to 0}\frac{1}{\cos u}=1.
Ambos os limites dos fatores existem e são finitos.

Passo 6

Combinar os resultados dos passos anteriores usando a propriedade do limite do produto:
\lim_{u\to 0}\frac{\tan u}{u} =\lim_{u\to 0}\left(\frac{\sin u}{u}\cdot\frac{1}{\cos u}\right) =\left(\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}\right)\cdot\left(\lim_{u\to 0}\frac{1}{\cos u}\right) =1\cdot 1=1.
Logo o limite existe e vale 1. Observação prática: isso não depende de p; o deslocamento apenas levou o argumento da tangente a zero, onde a razão tem esse valor.

Resposta

1

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