Calcule, caso exista,
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão envolve
, a tangente, aplicada ao argumento . - A variável que tende é
e o ponto de limite é . - Não foi dada nenhuma restrição adicional sobre
; portanto considerar .
O que se deve encontrar: o valor (se existir) desse limite quandose aproxima de .
Passo 2
Fazer a substituição natural para simplificar a forma do limite. Defina a nova variável
Quando
temos
. Reescrevendo a expressão em função de
:
Portanto o limite original é equivalente a
Passo 3
Usar a identidade que relaciona tangente e seno/cosseno. Lembrando que
, pode-se escrever
Aqui cada fator tem significado claro:
-
é uma razão seno sobre o próprio argumento; -
é o recíproco do cosseno, que é bem definido perto de porque .
Passo 4
Analisar o limite do primeiro fator
quando
. Esse é um limite clássico; uma prova curta usando o teorema do sanduíche (squeeze) é a seguinte (para
):
Considere no círculo trigonométrico as áreas que levam às desigualdades geométricas padrão:
Dividindo essa desigualdade por
obtém-se
Invertendo os termos (reciprocando) e lembrando que a inversão reverte desigualdades positivas, vem
Quando
tem-se
, então pelo teorema do sanduíche segue que
Para
a razão
é a mesma por simetria (seno é ímpar), então o limite bilateral também é
.
Passo 5
Analisar o segundo fator
. Como
é contínua e
, temos
Ambos os limites dos fatores existem e são finitos.
Passo 6
Combinar os resultados dos passos anteriores usando a propriedade do limite do produto:
Logo o limite existe e vale
. Observação prática: isso não depende de
; o deslocamento apenas levou o argumento da tangente a zero, onde a razão tem esse valor.