\lim_{x\to p} |f(x)| = L = 0 \Longleftrightarrow \lim_{x\to p} f(x) = L = 0
e pede uma interpretação geométrica.
Informações dadas:
Há uma função f definida num entorno de p (talvez exceto em p mesmo).
Está sendo considerada a noção de limite quando x tende a p.
O número L é 0.
O que se pede:
Mostrar (e interpretar geometricamente) que a afirmação acima é verdadeira: isto é, provar que \lim_{x\to p}|f(x)|=0 se, e somente se, \lim_{x\to p}f(x)=0.
Passo 2
Recordando a definição de limite (passo-a-passo, sem assumir que já lembra):
Dizemos que \lim_{x\to p} f(x)=0 se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-p|<\delta, vale |f(x)-0|<\varepsilon.
De modo idêntico, \lim_{x\to p}|f(x)|=0 significa: para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, se 0<|x-p|<\delta, então \bigl||f(x)|-0\bigr|<\varepsilon.
Observação útil (identidade simples): para qualquer número real y vale \bigl||y|-0\bigr|=|y|. Em particular, com y=f(x) temos \bigl||f(x)|-0\bigr|=|f(x)|. Também |f(x)-0|=|f(x)|. Essas igualdades vão simplificar as provas.
Passo 3
Provo a implicação \lim_{x\to p} f(x)=0 \Rightarrow \lim_{x\to p}|f(x)|=0.
Suponha que \lim_{x\to p} f(x)=0. Então, por definição, para qualquer \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que 0<|x-p|<\delta implica |f(x)-0|<\varepsilon.
Mas |f(x)-0|=|f(x)|. Logo essa mesma condição garante \bigl||f(x)|-0\bigr|<\varepsilon.
Isso é precisamente a definição de \lim_{x\to p}|f(x)|=0. Portanto a implicação é verdadeira.
Comentário explicativo: se os valores de f(x) ficam pequenos (em módulo) quando x se aproxima de p, então os valores absolutos também ficam pequenos — sem surpresa.
Passo 4
Provo a implicação contrária \lim_{x\to p}|f(x)|=0 \Rightarrow \lim_{x\to p} f(x)=0.
Suponha que \lim_{x\to p}|f(x)|=0. Pela definição, para qualquer \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que 0<|x-p|<\delta implica \bigl||f(x)|-0\bigr|<\varepsilon.
Novamente, \bigl||f(x)|-0\bigr|=|f(x)| e também |f(x)-0|=|f(x)|. Portanto 0<|x-p|<\delta implica |f(x)-0|<\varepsilon.
Isso é exatamente a definição de \lim_{x\to p} f(x)=0. Logo a implicação contrária também vale.
Comentário explicativo: quando o módulo de f(x) tende a zero, a própria f(x) tem de ficar próxima de zero (pois distância ao zero é o módulo).
Passo 5
Interpretação geométrica, bem didática e numa boa:
O valor |f(x)| mede a distância vertical entre o ponto (x,f(x)) do gráfico e o eixo x (o eixo das abscissas). Dizer \lim_{x\to p}|f(x)|=0 significa que, quando x se aproxima de p, essa distância vertical vai para zero — ou seja, os pontos do gráfico vão ficando cada vez mais “colados” ao eixo x perto de x=p.
Dizer \lim_{x\to p}f(x)=0 significa exatamente a mesma coisa: a ordenada f(x) fica próxima de 0, isto é, o gráfico aproxima-se do eixo x quando x\to p.
Portanto, geometricamente, ambas as afirmações são a mesma: o gráfico de f aproxima-se do eixo x quando nos aproximamos de p. A operação de valor absoluto só “esquece” o sinal (se o gráfico está acima ou abaixo do eixo), mas como o objetivo é chegar ao eixo (0), o sinal não importa — só importa a distância. Por isso a equivalência acontece só no caso L=0.
Observação importante para não se confundir na prova: se L\neq 0 a equivalência falha em geral, porque |f(x)|\to L não determina o sinal de f(x). Exemplo rápido (para ter na cabeça): construir f que toma valores L em pontos que se aproximam de p e -L em outros pontos que também se aproximam de p; então |f(x)|\to L mas f(x) não tem limite em p.
Passo 6
Resumo final didático e incentivo: a prova é curta e direta porque ambas as desigualdades necessárias reduzem-se à identidade |f(x)-0|=|f(x)|=\bigl||f(x)|-0\bigr|. Geometricamente, ambas as afirmações dizem a mesma coisa: “o gráfico de f aproxima-se do eixo x quando x tende a p”. Vai dar tudo certo na prova — já entendeu a ideia central!
Resposta
A equivalência é verdadeira: \displaystyle \lim_{x\to p}|f(x)|=0 \Longleftrightarrow \lim_{x\to p}f(x)=0.